Teorema di Cauchy (analisi matematica)

Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.

Significato geometrico del teorema di Cauchy.

Enunciato

Siano $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ due funzioni reali di variabile reale continue in $[a,b]$ e derivabili in $(a,b)$.

Allora esiste almeno un punto $c\in (a,b)$ tale che

$[g(b)-g(a)]f^{\prime }(c)=[f(b)-f(a)]g^{\prime }(c).$

Si noti che se $g'(c)\neq 0$ (e dunque in particolare $g(b)\neq g(a)$), l'equazione si può scrivere nella forma equivalente

${\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.$

Dimostrazione del teorema

Si consideri la funzione $h$ di variabile reale definita nell'intervallo $[a,b]$ come

$h(t)=[f(b)-f(a)]g(t)-[g(b)-g(a)]f(t)\quad$

Questa funzione è continua nell'intervallo $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$, e

$h(a)=[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)=f(b)g(a)-f(a)g(a)-f(a)g(b)+f(a)g(a)=f(b)g(a)-f(a)g(b).$

$h(b)=[f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b)=f(b)g(b)-f(a)g(b)-f(b)g(b)+f(b)g(a)=-f(a)g(b)+f(b)g(a).$

Da cui $h(a)=h(b)$.

La funzione $h$ soddisfa quindi le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto $c\in (a,b)$ in cui $h'(c)=0$, cioè

$[f(b)-f(a)]g'(c)-[g(b)-g(a)]f'(c)=0.$

Applicazioni

• Considerando in particolare la funzione $g(t)=t$, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.
• Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di De L'Hôpital.

Bibliografia

• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, paragrafo 67.
• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

Voci correlate

• Derivata
• Teorema di Rolle
• Teorema di Lagrange

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Cauchy, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Extended mean-value theorem e proof of extended mean-value theorem su PlanetMath