Teorema del sollevamento dell'omotopia

Il teorema di sollevamento dell'omotopia è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia, che collega le nozioni di rivestimento e di omotopia.

Definizione di sollevamento

Sia $p:E\to X$ un rivestimento e $f:Y\to X$ un'applicazione continua fra spazi topologici. Un sollevamento di $f$ è una applicazione continua $g:Y\to E$ tale che:

$f=p\circ g.$

Enunciato del teorema

Siano dati un rivestimento fra spazi topologici

$p:E\to X\,\!$

e due applicazioni continue

$a:I\to E,\quad F:I^{2}\to X$

definite sull'intervallo $I=[0,1]$ e sul quadrato $I^{2}$, tali che $p(a(t))=F(t,0)$ per ogni $t$.

Allora esiste, ed è unico, un sollevamento

$G:I^{2}\to E\,\!$

di $F$ tale che $G(t,0)=a(t)$ per ogni $t$.

Dimostrazione

Basta dimostrare l'esistenza: l'unicità segue dalla connessione di $I^{2}$ e dal teorema di unicità del sollevamento.

La costruzione del sollevamento $G$ è invece fatta sfruttando la semplice connessione e la compattezza di $I^{2}$. Grazie alla compattezza esiste un $N>0$ tale che ogni quadratino

$Q_{i,j}=\left[{\frac {i}{N}},{\frac {i+1}{N}}\right]\times \left[{\frac {j}{N}},{\frac {j+1}{N}}\right]$

contenuto in $I^{2}$ (quindi con $i<N,j<M$) ha immagine $F(Q_{i,j})$ contenuta in un aperto uniformemente rivestito. Quindi la funzione $F$, ristretta al quadratino $Q_{i,j}$, ammette un sollevamento. I quadratini $Q_{i,j}$ ricoprono il quadrato $I^{2}$: grazie alla semplice connessione, tutti questi sollevamenti possono quindi essere "incollati" coerentemente in modo da formare un sollevamento $G$ con le proprietà richieste.

Corollario

Siano $p:E\to X$ un rivestimento e $f:S^{2}\to X$ un'applicazione continua. Per ogni coppia di punti y ∈ S², e ∈ p⁻¹(f(y)) esiste un unico sollevamento g : S² → E dell'applicazione f tale che g(y) = e.

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