Teorema della traccia
Il teorema della traccia è un importante risultato di analisi funzionale che permette di definire il restringimento ad un dominio una funzione definita quasi ovunque, per la quale quindi, essendo i bordi del dominio di misura di Lebesgue nulla, non sarebbe è possibile farlo nella maniera classica.
Tale restringimento permette quindi di estendere teoremi che legano i valori di una funzione ai suoi valori sul bordo del dominio di definizione, come ad esempio il teorema di Green Gauss. Inoltre tale teorema ci permette di formulare una definizione alternativa degli spazi di Sobolev .
Il teorema di seguito riportato chiede per il dominio condizioni più stringenti di regolarità rispetto a quelle strettamente necessarie. Infatti, le condizioni minime sono quelle per l'esistenza di soluzioni delle equazioni di Dirichlet non omogenee.
Definizione di traccia modifica
Sia un aperto e limitato e sia , dove abbiamo indicato con lo spazio di Sobolev . Un operatore lineare continuo si dice operatore di traccia se per ogni risulta , , per ogni , dove indica la normale esterna al bordo di .[1]
Teorema modifica
Sia aperto limitato di classe , allora esiste un operatore traccia tale che
- se , allora , , per ogni -1, dove indica la normale esterna al bordo di ;
- l'immagine di è un sottospazio di , più precisamente è ;
- il nucleo di è lo spazio di Hilbert .[2]
Conseguenze modifica
La traccia permettere di estendere il teorema di Green-Gauss a funzioni definite su spazi di Sobolev.
Teorema di Green modifica
Sia aperto limitato di classe . Siano e in . Allora, per ogni
dove indica l' -esima componente del versore normale uscente dal bordo di in .[3]
Definizione di modifica
Conseguenza immediata del teorema è che si può definire lo spazio di Hilbert come il nucleo dell'operatore traccia.
Note modifica
Bibliografia modifica
- Kesavan, S. Functional analysis and applications. Wiley, 1988.