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Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica

In analisi matematica, una equazione differenziale alle derivate parziali ellittica è un'equazione differenziale alle derivate parziali tale per cui i coefficienti delle derivate di grado massimo sono positivi. Si tratta dell'applicazione di un operatore ellittico, un operatore differenziale definito su uno spazio di funzioni che generalizza l'operatore di Laplace.

Indice

DefinizioneModifica

Un operatore differenziale lineare   di ordine   su un dominio  :

 

è detto operatore ellittico se per ogni   non nullo si ha:

 

In molte applicazioni si richiede un requisito più stringente, la condizione di ellitticità uniforme, che si applica per operatori di grado pari:

 

dove   è una costante positiva. Si nota che l'ellitticità dipende solo dai termini di grado massimo.

Un operatore non lineare:

 

è ellittico se il suo sviluppo al primo ordine in serie di Taylor rispetto a   (e le sue derivate) è un operatore lineare ellittico.

In generale, sia   un operatore differenziale generico (non lineare) definito su un fibrato vettoriale. Rimpiazzando le derivate covarianti con una nuova variabile si ottiene il simbolo   dell'operatore rispetto alla 1-forma  .

L'operatore   è debolmente ellittico se   è un isomorfismo lineare per ogni campo covettoriale   non nullo.

L'operatore   è fortemente ellittico se per qualche costante  :

 

per ogni   e per ogni   del fibrato, con   un prodotto interno.

Operatori del secondo ordineModifica

Si considerino operatori differenziali parziali lineari del secondo ordine della forma:

 

dove  . Tale operatore è ellittico se per ogni   la matrice dei coefficienti dei termini di ordine massimo:

 

è una matrice simmetrica reale definita positiva. In particolare, per ogni vettore non-nullo:

 

vale la seguente condizione di ellitticità:

 

Per molti impieghi, tale condizione non è sufficientemente forte e dev'essere quindi sostituita da una condizione di ellitticità uniforme:

 

dove   è una costante positiva.

LaplacianoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore di Laplace.

Un importante esempio di operatore ellittico è il Laplaciano. Equazioni della forma:

 

vengono dette equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico se   è un operatore ellittico. Le usuali equazioni alle derivate parziali che coinvolgono il tempo, quali ad esempio l'equazione del calore e l'equazione di Schrödinger, contengono anche operatori ellittici che coinvolgono le variabili spaziali, così come le derivate temporali. Gli operatori ellittici sono caratteristici della teoria del potenziale.

Le loro soluzioni, dette funzioni armoniche, tendono a essere funzioni lisce se i coefficienti nell'operatore sono continui. Più semplicemente, soluzioni stazionarie a equazioni iperboliche e a equazioni paraboliche generalmente risolvono equazioni ellittiche.

L'opposto del Laplaciano in  , dato da:

 

è un operatore uniformemente ellittico.

BibliografiaModifica

  • (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

Controllo di autoritàLCCN (ENsh85037895 · GND (DE4014485-9 · BNF (FRcb120619999 (data)
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