Teorema delle restrizioni

In analisi matematica, ci sono due teoremi collegati che prendono il nome di teorema delle restrizioni. Qui sono enunciate le versioni in una variabile, ma la generalizzazione a più dimensioni è immediata.

Primo teorema delle restrizioni

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Sia  ,   punto di accumulazione per  . Il primo teorema delle restrizioni afferma che se   ammette limite   in  :

 

allora per ogni sottoinsieme   tale che   sia punto di accumulazione anche per   è:

 

È molto utile sfruttare la negazione di questo teorema: infatti se si riesce ad individuare una restrizione di   che non possegga limite, o a trovarne due distinte per cui sia  , dal teorema deve dedursi che   stessa non possiede limite. Ad esempio, la successione   non possiede limite poiché   (cioè la sua restrizione sui pari) è costante a  , mentre
  (sui dispari) è costante a  .

Secondo teorema delle restrizioni

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Sia  ,   punto di accumulazione per   e siano   tali che:

 

ovvero   è un ricoprimento di  . Sia inoltre   punto di accumulazione per entrambi. Il secondo teorema delle restrizioni afferma che se:

 

allora   possiede limite in   e tale limite è necessariamente  .

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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