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In matematica il concetto di punto di accumulazione è uno dei principali dell'analisi matematica e della topologia.

Indice

DefinizioneModifica

Dato l'insieme   e   (non interessa che   appartenga ad   o meno), si dice che   è punto di accumulazione per l'insieme   se in ogni intorno   di   esiste almeno un elemento   diverso da   e appartenente ad  . In formule:

 

Intuitivamente questo significa che arbitrariamente vicino a   ci sono sempre punti di   (diversi da  ).

GeneralizzazioniModifica

La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto   è di accumulazione per un insieme   se l'insieme   contiene punti "arbitrariamente vicini" ad  . La nozione di "arbitrariamente vicino" è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.

Spazi topologiciModifica

In topologia un punto   appartenente ad uno spazio topologico   è un punto di accumulazione per un sottoinsieme   di   se qualsiasi aperto   contenente   interseca   in almeno un punto diverso da  . In simboli:

 

Spazi metriciModifica

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:

 

dove   è la palla di raggio   e centro  . In altre parole, ogni palla centrata in   interseca   in qualche punto diverso da  .

Nel caso di spazi metrici, se   è punto di accumulazione per  , allora è possibile trovare punti di  , distinti da   a distanza arbitrariamente piccola da  . Dunque in ogni intorno di   cadono infiniti punti di  .

Nozioni correlateModifica

L'insieme dei punti di accumulazione di   è detto insieme derivato di   e si indica di solito con  .

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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