Limite di funzioni a più variabili

Concetto dell'analisi matematica

In analisi matematica, il limite di funzioni a più variabili è un caso particolare del concetto generale di limite di una funzione, applicato a funzioni del tipo:

dove è un sottoinsieme dello spazio euclideo -dimensionale .

Il limite di una funzione a più variabili è spesso calcolato con criteri ad hoc e presenta aspetti specifici, non presenti per una funzione qualsiasi.

DefinizioneModifica

La definizione di limite per una funzione a più variabili segue da quella più generale per funzioni fra spazi metrici. In particolare, una funzione   definita su un insieme   di   ha limite   in un punto di accumulazione   per   se per ogni numero reale   esiste un numero reale   tale che:

  per ogni   in   con  .

La definizione fa uso della norma per vettori in   e di una notazione vettoriale compatta per il punto  . Se esiste il limite  , questo è unico per il teorema di unicità del limite, e si indica ugualmente con:

 

In due variabili si possono ancora scrivere tutte le componenti senza creare una notazione troppo pesante e quindi si troverà scritto, per un limite in  :

 

ComponentiModifica

Può risultare utile scrivere le componenti   della funzione   e notare che la nozione:

 

è equivalente a:

 
 
 

dove  .

EsempioModifica

Il limite seguente non esiste:

 

Infatti si ottengono valori diversi del limite avvicinandosi al punto   da direzioni diverse. Ponendo   e calcolando il limite destro, si ottiene:

 

Mentre sulla retta   si ricava:

 

Nel caso in più variabili la "direzione", ovvero la curva lungo la quale si calcola un limite è di fondamentale importanza: se una funzione ha limite nel punto, questo non deve dipendere dalla "direzione scelta".

CalcoloModifica

Per calcolare il limite di una funzione di due variabili   in un punto  , un primo metodo consiste nel fare un cambiamento di variabili in coordinate polari:

 

e si compone la funzione:

 

Inoltre vale il teorema:

 

in modo però uniforme rispetto a  , cioè l'ampiezza dell'intervallo di   tale che le immagini siano tutte contenute in un qualsiasi intorno dello 0 deve essere indipendente da  .

Un altro metodo invece è quello di calcolare il limite secondo le diverse curve passanti per  , cioè, all'avvicinarsi a  , secondo diverse direzioni:

 

componendo la funzione  

 

dove  .

In generale, con quest'ultimo metodo è estremamente difficile calcolare il limite, poiché si dovrebbe calcolarlo per tutte le infinite direzioni che avvicinano  ; perciò il metodo è utile per negare l'esistenza di un ipotetico limite (come fatto nell'esempio precedente), usando il teorema delle restrizioni.

BibliografiaModifica

  • (EN) Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An introduction (Third ed.), New York: McGraw–Hill, pp. 558–559, ISBN 0-07-009465-9
  • (EN) Felscher, Walter (2000), Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 107 (9): 844–862, doi:10.2307/2695743, JSTOR 2695743.
  • (EN) Grabiner, Judith V. (1983), Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 90 (3)

Voci correlateModifica

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