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Teorema di Clairaut

Rappresentazione Wireframe di un ellissoide di rotazione (sferoide oblato)

Il teorema di Clairaut pubblicato nel Théorie de la figure de la terre, tirée des principes de l'hydrostatique,[1] del 1743 in cui si evidenzia che la Terra è un ellissoide di rotazione[2][3], è un teorema generale applicato agli sferoidi di rivoluzione e afferma che in ogni punto di una geodetica, tracciata su una superficie di rotazione, è costante il prodotto del raggio del parallelo per il seno dell'azimut della geodetica. La costante è tipica di ogni geodetica e viene chiamata "costante di Clairaut". Fu inizialmente utilizzato per mettere in relazione l'accelerazione di gravità in ogni punto della superficie terrestre alla sua posizione, permettendo per la prima volta di calcolare l'ellitticità della Terra con misure della gravità a differenti latitudini.

FormulaModifica

La formula di Clairaut per l'accelerazione di gravità g sulla superficie di uno sferoide alla latitudine φ, era[4][5]:

 

dove g_e è il suo valore all'equatore, r il rapporto fra l'accelerazione centrifuga e quella di gravità all'equatore, e f l'ellitticità di una sezione della Terra lungo un meridiano, definita come:

 

(dove a = semiasse maggiore, b=semiasse minore ).

Clairaut derivò la formula nell'ipotesi che il corpo fosse composto di strati sferoidali concentrici e coassiali di densità costante[6]. Questo lavoro fu successivamente seguito da Laplace, che superò l'assunzione iniziale che superfici a densità costante fossero sferoidi.[7]Stokes dimostrò nel 1849 il teorema più in generale applicandolo a una qualsiasi legge di densità che permetta alla superficie esterna di essere uno sferoide in equilibrio meccanico.[8][9] Una storia della materie, insieme con equazioni più dettagliate per g possono essere trovate in Khan.[10]

L'espressione per g di cui sopra è stata attualmente soppiantata dall'equazione di Somigliana:

 

dove, per la Terra, G =9.7803267714 ms−2; k =0.00193185138639 ; e2 =0.00669437999013.[11]

La relazione di ClairautModifica

Un enunciato formale del teorema in geometria differenziale è anche noto come relazione di Clairaut:[12]

«Sia γ una geodetica su una superficie di rivoluzione S, sia ρ la distanza di un punto di S dall'asse di rotazione, e sia ψ l'angolo tra γ e i meridiani di S. Allora ρ sin ψ è costante lungo γ. Al contrario, se ρ sin ψ è costante lungo una qualche curva γ sulla superficie, e se nessuna parte di γ è parte di qualche parallela a S, allora γ è una geodetica

(Andrew Pressley: Elementary Differential Geometry, p. 183)
 

Pressley (p. 185) spiega il teorema come un'espressione della conservazione del momento angolare attorno all'asse di rotazione quando una particella scorre lungo una geodetica sotto l'influsso della sola reazione vincolare bilaterale che lo lega alla superficie.

GeodesiaModifica

La forma sferoidale della Terra è il risultato dell'interazione tra gravità e forza centrifuga causata dalla rotazione terrestre[13][14]. Nei suoi Principia, Newton propose che la forma di equilibrio di una Terra omogenea e rotante fosse un ellissoide di rotazione con ellitticità f = 1/230.[15][16] Come risultato la gravità incrementa dall'equatore ai poli. Applicando il teorema di Clairaut, Laplace riuscì a dedurre da 15 misurazioni dell'accelerazione di gravità che invece f = 1/330. Una stima attuale è fra loro intermedia: f = 1/298.25642.[17] Per un resoconto dettagliato della costruzione dell'ellissoide di riferimento della geodesia, si consulti infine il Chatfield.[18].

NoteModifica

  1. ^ From the catalogue of the scientific books in the library of the Royal Society.
  2. ^ Wolfgang Torge, Geodesy: An Introduction, 3rd, Walter de Gruyter, 2001, p. 10, ISBN 3-11-017072-8.
  3. ^ Edward John Routh, A Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples, Vol. 2, Adamant Media Corporation, 2001, p. 154, ISBN 1-4021-7320-2. A reprint of the original work published in 1908 by Cambridge University Press.
  4. ^ W. W. Rouse Ball A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908)
  5. ^ Walter William Rouse Ball, A short account of the history of mathematics, 3rd, Macmillan, 1901, p. 384.
  6. ^ John Henry Poynting, Joseph John Thompson, A Textbook of Physics, 4th Ed., London, Charles Griffin & Co., 1907, pp. 22–23.
  7. ^ Isaac Todhunter, A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth from the Time of Newton to that of Laplace, Vol. 2, Elibron Classics, ISBN 1-4021-1717-5. Reprint of the original edition of 1873 published by Macmillan and Co.
  8. ^ Osmond Fisher, Physics of the Earth's Crust, Macmillan and Co., 1889, p. 27.
  9. ^ John Henry Poynting & Joseph John Thomson, A Textbook of Physics, C. Griffin, 1907, p. 22.
  10. ^ NASA case file On the equilibrium figure of the earth by Mohammad A. Khan (1968)
  11. ^ Eq. 2.57 in MIT Earth Atmospheric and Planetary Sciences OpenCourseWare notes
  12. ^ Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer, 2001, p. 183, ISBN 1-85233-152-6.
  13. ^ John P. Vinti, Gim J. Der, Nino L. Bonavito, Orbital and Celestial Mechanics, Progress in astronautics and aeronautics, v. 177, American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1998, p. 171, ISBN 1-56347-256-2.
  14. ^ Arthur Gordon Webster, The Dynamics of Particles and of Rigid, Elastic, and Fluid Bodies: being lectures on mathematical physics, B.G. Teubner, 1904, p. 468.
  15. ^ Isaac Newton: Principia Book III Proposition XIX Problem III, p. 407 in Andrew Motte translation.
  16. ^ See the Principia on line at Andrew Motte Translation
  17. ^ Table 1.1 IERS Numerical Standards (2003))
  18. ^ Averil B. Chatfield, Fundamentals of High Accuracy Inertial Navigation, Volume 174 in Progress in Astronautics and Aeronautics, American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1997, Chapter 1, Part VIII p. 7, ISBN 1-56347-243-0.

Fonti: Topografia e cartografia (università di ingegneria del Politecnico di Torino)

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