Teorema di Heine-Cantor

In matematica, il teorema di Heine - Cantor è un teorema di analisi matematica riguardante l'uniforme continuità di funzioni definite fra spazi metrici. Prende il nome da Eduard Heine e Georg Cantor.

In generale ogni funzione uniformemente continua è anche continua. Il teorema di Heine-Cantor permette di invertire tale implicazione, nell'ipotesi che il dominio sia uno spazio metrico compatto.

Il teoremaModifica

Siano   e   spazi metrici, e   una funzione continua su  . Se   è compatto allora   è uniformemente continua.[1]

In particolare, tutte le funzioni reali di variabile reale continue definite su un intervallo chiuso e limitato sono uniformemente continue.

DimostrazioneModifica

Assumiamo, per assurdo, che non valga la tesi; la negazione di

 

equivale a

 .

Supponiamo dunque che esista   tale che per ogni   esistano punti   tali che

  e  

Diamo a   i valori   e denotiamo con   e   i corrispondenti punti  .

In questo modo si definiscono due successioni di punti   e  .

Poiché   è compatto da   si può estrarre una sotto-successione convergente ad un punto  ; sia essa  .

Poiché   per  , si ha

  per  . quindi anche   converge a  

Poiché per ogni   si ha

 

e il secondo membro tende a zero per la continuità della funzione, segue

 

incompatibile con l'ipotesi d'assurdo  

Condizione sufficienteModifica

La compattezza è una condizione sufficiente ma non necessaria per avere continuità uniforme. Esistono infatti funzioni uniformemente continue definite in spazi metrici non compatti. Banalmente la funzione   è uniformemente continua in ogni spazio metrico, come pure le funzioni costanti.[1]

NoteModifica

  1. ^ a b P. M. Soardi, p. 187.

BibliografiaModifica

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