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Nella matematica, il teorema di Poincaré–Hopf (anche conosciuto come formula dell'indice di Poincaré–Hopf) è un importante teorema utilizzato nella topologia differenziale. Il suo nome deriva da Henri Poincaré e Heinz Hopf.

Un caso speciale della formula è il teorema della palla pelosa, che semplicemente afferma che non esiste un campo vettoriale non nullo continuo tangente a una sfera.

Indice

EnunciatoModifica

Sia   una varietà differenziabile di dimensione  , e   un campo vettoriale su  . Si supponga che   sia un punto critico isolato di  , e si fissino delle coordinate locali vino a  . Sia D una palla chiusa centrata in  , tale che   sia l'unico zero di   in  . Successivamente si definisce l'indice di   in  ,  , come il grado topologico della mappa   dalla frontiera di   alla (n-1)-sfera e data da  .

Teorema. Sia   una varietà differenziabile compatta. Sia   un campo vettoriale su   con zeri isolati. Se   ha la frontiera,   deve essere diretto normalmente e uscente rispetto alla frontiera. Allora vale la seguente formula

 

dove la somma degli indici è su tutti gli zeri isolati di   e   è la caratteristica di Eulero di  . Un corollario particolarmente utile è che un campo vettoriale che non si annulla mai implica che la caratteristica di Eulero è 0.

Questo teorema fu dimostrato in due dimensioni da Henri Poincaré e successivamente generalizzato da Heinz Hopf.

Significato e importanzaModifica

La caratteristica di Eulero di una superficie chiusa è un concetto puramente topologico, mentre l'indice di un campo vettoriale è puramente analitico. Perciò, questo teorema stabilisce un profondo collegamento tra due aree della matematica apparentemente non correlate. È particolarmente interessante che la dimostrazione del teorema si basa fortemente sull'integrale, e in particolare sul teorema di Stokes, il quale afferma che l'integrale della derivata esterna di una forma differenziale è uguale all'integrale sulla frontiera di tale forma. Nel caso speciale di una varietà senza frontiera, è equivalante ad affermare che l'integrale è 0. Ma esaminando i campi vettoriali in un intorno sufficientemente piccolo di una "sorgente" o di un "pozzo", si nota che essi contribuiscono al totale con quantità intere (gli indici), e la loro somma totale deve essere zero. Questo risultato può essere considerato come uno dei primi di una lunga serie di teoremi che stabiliscono un legame profondo tra concetti geometrici e analitici o fisici, giocando un ruolo importante nello studio moderno di entrambi i campi.

Schema della dimostrazioneModifica

1. Si immerge   in un qualche spazio euclideo di dimensione sufficiente (Usando il teorema di immersione di Whitney.)

2. Si prende un piccolo intorno di   nello spazio euclideo,  . Si estende il campo vettoriale a questo intorno in modo che abbia gli stessi zeri e stessi indici. Inoltre, ci si assicura che il campo vettoriale sulla frontiera di   sia diretto verso l'esterno.

3. La somma degli indici del vecchio (e nuovo) campo vettoriale è uguale al grado della mappa di Gauss dalla frontiera di   alla (n-1)-sfera. Quindi, la somma degli indici è indipendente dal reale campo vettoriale, e dipende solo dalla varietà  . Tecnica: tagliare via tutti i punti critici del campo insieme a degli intorni piccoli. Quindi si utilizza il fatto che il grado di una mappa dalla frontiera di una varietà  -dimensionale a una (n-1)-sfera, che può essere estesa all'intera varietà  -dimensionale, è zero.

4. Infine, si riconosce che la somma degli indici è la caratteristica di Eulero. Per farlo, si costruisce uno specifico campo vettoriale su   usando una triangolazione di   grazie al quale è chiaro che la somma degli indici degli zeri è uguale alla caratteristica di Eulero della varietà.

GeneralizzazioniModifica

È possibile definire l'indice di un campo vettoriale anche per zeri non isolati. Una costruzione di tale indice e una generalizzazione del teorema di Poincaré–Hopf sono delineate nella Sezione 1.1.2 di (Brasselet, Seade & Suwa 2009).

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica