Derivata esterna
In geometria differenziale, la derivata esterna estende il concetto di differenziale di una funzione a forme differenziali di ordine maggiore. La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan.
Definizione
modificaLa derivata esterna di una forma differenziale di grado è una forma differenziale di grado .
Derivata esterna di una funzione
modificaSia una funzione liscia (cioè una 0-forma). La derivata esterna di è il differenziale di , ovvero l'unica uno-forma tale che per ogni campo vettoriale si abbia , dove è la derivata direzionale di in direzione .[1]
Derivata esterna di una k-forma
modificaLa derivata esterna è definita come l'unica trasformazione lineare a valori reali che mappa k-forme in (k+1)-forme tale da soddisfare le seguenti proprietà:
- è il differenziale di per funzione liscia.
- per ogni funzione liscia .
- , con una p-forma.
La seconda proprietà vale in un contesto più generale, poiché per ogni k-forma , mentre la terza implica, come caso particolare, che se è una funzione e una k-forma allora poiché le funzioni sono forme di grado zero.
Derivata esterna in coordinate locali
modificaIn un sistema di coordinate locale si considerino i differenziali , che costituiscono un insieme di uno-forme. Dato un insieme di indici , con e , la derivata esterna di una k-forma:
su è definita nel modo seguente:[1]
Per una generica k-forma:
con , la definizione è estesa per linearità.
La definizione mostrata in coordinate locali segue dalla definizione precedente. Infatti, sia:
allora si ha:
dove è interpretata come una zero-forma, alla quale sono applicate le proprietà della derivata esterna.
Formula invariante
modificaSi può trovare una formula esplicita per la derivata esterna di una k-forma quando si considerano k+1 campi vettoriali lisci :
dove sono le parentesi di Lie, e il cappello denota l'omissione di un dato elemento:
In particolare, per 1-forme si ha:
dove e sono campi vettoriali.
La derivata esterna nel calcolo vettoriale
modificaDiversi operatori utilizzati nel calcolo vettoriale sono casi speciali della nozione di differenziazione esterna, o ne hanno una stretta relazione.
Gradiente
modificaUna funzione liscia è una 0-forma. La sua derivata esterna è la 1-forma:
In altre parole, la forma agisce su ogni campo vettoriale restituendo in ogni punto il prodotto scalare di con il gradiente . La 1-forma è una sezione del fibrato cotangente che produce un'approssimazione lineare locale di nello spazio cotangente ad ogni punto.
Divergenza
modificaUn campo vettoriale su possiede una corrispondente (n-1)-forma:
dove denota l'omissione di tale elemento. L'integrale di su un'ipersuperficie è il flusso di attraverso tale ipersuperficie.
La derivata esterna di tale (n-1)-forma è la n-forma:
Rotore
modificaUn campo vettoriale su possiede una corrispondente 1-forma:
Localmente, è il prodotto interno con , e l'integrale di lungo un cammino è il lavoro meccanico compiuto "contro" lungo il cammino. Se n=3, la derivata esterna di è la 2-forma:
Note
modifica- ^ a b Todd Rowland, MathWorld - Exterior Derivative, su mathworld.wolfram.com, 2012.
Bibliografia
modifica- Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York, Dover Publications, 1989, p. 20, ISBN 0-486-66169-5.
- Ramanan, S., Global calculus, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2005, p. 54, ISBN 0-8218-3702-8.
- Conlon, Lawrence, Differentiable manifolds, Basel, Switzerland, Birkhäuser, 2001, p. 239, ISBN 0-8176-4134-3.
- Darling, R. W. R., Differential forms and connections, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1994, p. 35, ISBN 0-521-46800-0.
Voci correlate
modificaCollegamenti esterni
modifica- (EN) Eric W. Weisstein, Derivata esterna, su MathWorld, Wolfram Research.