Derivata esterna

In geometria differenziale, la derivata esterna estende il concetto di differenziale di una funzione a forme differenziali di ordine maggiore. La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan.

DefinizioneModifica

La derivata esterna di una forma differenziale di grado   è una forma differenziale di grado  .

Derivata esterna di una funzioneModifica

Sia   una funzione liscia (cioè una 0-forma). La derivata esterna di   è il differenziale   di  , ovvero l'unica uno-forma tale che per ogni campo vettoriale   si abbia  , dove   è la derivata direzionale di   in direzione  .[1]

Derivata esterna di una k-formaModifica

La derivata esterna è definita come l'unica trasformazione lineare a valori reali che mappa k-forme in (k+1)-forme tale da soddisfare le seguenti proprietà:

  •   è il differenziale di   per   funzione liscia.
  •   per ogni funzione liscia  .
  •  , con   una p-forma.

La seconda proprietà vale in un contesto più generale, poiché   per ogni k-forma  , mentre la terza implica, come caso particolare, che se   è una funzione e   una k-forma allora   poiché le funzioni sono forme di grado zero.

Derivata esterna in coordinate localiModifica

In un sistema di coordinate locale   si considerino i differenziali  , che costituiscono un insieme di uno-forme. Dato un insieme di indici  , con   e  , la derivata esterna di una k-forma:

 

su   è definita nel modo seguente:[1]

 

Per una generica k-forma:

 

con  , la definizione è estesa per linearità.

La definizione mostrata in coordinate locali segue dalla definizione precedente. Infatti, sia:

 

allora si ha:

 
 
 
 
 

dove   è interpretata come una zero-forma, alla quale sono applicate le proprietà della derivata esterna.

Formula invarianteModifica

Si può trovare una formula esplicita per la derivata esterna di una k-forma   quando si considerano k+1 campi vettoriali lisci  :

 
 

dove   sono le parentesi di Lie, e il cappello denota l'omissione di un dato elemento:

 

In particolare, per 1-forme si ha:

 

dove   e   sono campi vettoriali.

La derivata esterna nel calcolo vettorialeModifica

Diversi operatori utilizzati nel calcolo vettoriale sono casi speciali della nozione di differenziazione esterna, o ne hanno una stretta relazione.

GradienteModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gradiente.

Una funzione liscia   è una 0-forma. La sua derivata esterna è la 1-forma:

 

In altre parole, la forma   agisce su ogni campo vettoriale   restituendo in ogni punto il prodotto scalare di   con il gradiente  . La 1-forma   è una sezione del fibrato cotangente che produce un'approssimazione lineare locale di   nello spazio cotangente ad ogni punto.

DivergenzaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Divergenza.

Un campo vettoriale   su   possiede una corrispondente (n-1)-forma:

 
 

dove   denota l'omissione di tale elemento. L'integrale di   su un'ipersuperficie è il flusso di   attraverso tale ipersuperficie.

La derivata esterna di tale (n-1)-forma è la n-forma:

 

RotoreModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Rotore (matematica).

Un campo vettoriale   su   possiede una corrispondente 1-forma:

 

Localmente,   è il prodotto interno con  , e l'integrale di   lungo un cammino è il lavoro meccanico compiuto "contro"   lungo il cammino. Se n=3, la derivata esterna di   è la 2-forma:

 

NoteModifica

  1. ^ a b Todd Rowland, MathWorld - Exterior Derivative, su mathworld.wolfram.com, 2012.

BibliografiaModifica

  • Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York, Dover Publications, 1989, p. 20, ISBN 0-486-66169-5.
  • Ramanan, S., Global calculus, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2005, p. 54, ISBN 0-8218-3702-8.
  • Conlon, Lawrence, Differentiable manifolds, Basel, Switzerland, Birkhäuser, 2001, p. 239, ISBN 0-8176-4134-3.
  • Darling, R. W. R., Differential forms and connections, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1994, p. 35, ISBN 0-521-46800-0.

Voci correlateModifica

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