Teorema di Sharkovsky

In matematica e fisica, il teorema di Sharkovsky è un risultato di estrema importanza nello studio delle orbite periodiche di un sistema dinamico discreto. Il teorema afferma che se si ha un sistema dinamico in cui la funzione di iterazione è una funzione continua avente dominio e immagine in un intervallo reale , allora se il sistema ammette un'orbita di periodo esso ammette anche orbite di periodo se precede in un particolare ordinamento detto ordinamento di Sharkovsky.

Ordinamento di SharkovskyModifica

Dato un intervallo  , sia   una funzione continua. Il numero   è un punto periodico di periodo   se  , dove   è la composizione di   copie di  . Si tratta di un punto periodico avente periodo primitivo   se, inoltre,   per tutti gli  .

Per conoscere i possibili periodi dei punti periodici di  , si consideri il seguente ordinamento di numeri naturali, detto ordinamento di Sharkovsky:

 

dove ogni numero naturale compare una e una sola volta all'interno dell'ordinamento di Sharkovsky, dunque è un ordinamento totale sui numeri naturali.

Il teorema di Sharkovsky stabilisce che se   ha punto periodico di periodo primitivo   e   precede   nell'ordinamento di Sharkovsky, allora   possiede anche un punto periodico con periodo primitivo  .

In particolare, se non esiste un'orbita 8-periodica allora non può esistere nessuna orbita all'infuori di quella 2-periodica e di quella 4-periodica. E se non esistono orbite 2-periodiche, non vi saranno orbite di alcun periodo. L'esistenza di un'orbita di periodo 3 garantisce invece la presenza di orbite di ogni periodo. Il comportamento di un sistema dinamico in cui sia presente l'orbita 3-periodica è dunque particolarmente studiato.

DimostrazioneModifica

Si consideri un caso particolare in cui esiste l'orbita 3-periodica; si vuole dimostrare che esistono orbite di ogni periodo. Siano dunque  ,   e   i tre punti dell'orbita e si supponga che  ,   e  . Si utilizzano due lemmi di carattere generale sulle funzioni continue:

  • Teorema del punto fisso di Brouwer: sia   una funzione continua. Se esiste un intervallo   tale che   contenga  , allora esiste almeno un punto fisso in  , cioè esiste almeno un   appartenente a   tale che  .
  • Sia   una funzione continua. Se esistono due intervalli   e   tali che   contenga  , allora esiste un intervallo   contenuto in   tale che  .

Per dimostrare l'esistenza di un'orbita 1-periodica, cioè un punto fisso, sia   l'intervallo   e   l'intervallo  . Poiché   e  , per il teorema dei valori intermedi   contiene   e dunque contiene  . Ma allora per il primo lemma esiste sicuramente un punto fisso per   all'interno di  .

Sia dunque   e  . Si vuole dimostrare l'esistenza di un'orbita di minimo periodo  . Per fare questo si costruisce una famiglia di intervalli   tale che:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Prima di dimostrare che gli intervalli   esistono, si nota come essi possono aiutare a dimostrare l'esistenza dell'orbita n-periodica: la (5) implica che   contiene   e dunque, per il primo lemma, esiste un punto fisso   per l'iterata n-esima che per costruzione sta in  . Questo però non è detto che appartenga ad un'orbita di minimo periodo   (a meno che   non sia primo), poiché se   è pari, ogni punto di un'orbita 2-periodica, appartiene anche all'orbita n-periodica.

Si nota che   non può coincidere con  ; infatti se così fosse, poiché   e dato che l'unica iterata che consente di uscire dall'intervallo   è la (n-1)-esima, si avrebbe che  , contraddicendo l'ipotesi che   faccia parte dell'orbita 3-periodica. Ma   non può nemmeno essere uguale a  , poiché   implicherebbe, per lo stesso motivo di prima,  , ma per ipotesi abbiamo deciso di considerare   diverso da 3. Dunque   appartiene all'intervallo aperto  . Ma poiché   appartiene a  , si ha che   è diverso da  , poiché appartengono a due intervalli disgiunti. Ne segue che   non può appartenere ad un'orbita (n-1)-periodica. Se poi il periodo fosse strettamente minore di n-1, la (3) implicherebbe che l'orbita deve rimanere sempre all'interno di  , ma la (4) mostra che questo è impossibile. Dunque il minimo periodo dell'orbita cui   appartiene è  .

Rimane da dimostrare l'esistenza degli intervalli  . Per costruirli si pone  ; perciò   contiene   che contiene   e per il secondo lemma esiste dunque un intervallo   contenuto in   tale che  . Ma il fatto che   e che   contiene   implicano l'esistenza di un intervallo   contenuto in   tale che  , e così via fino a  . In questo modo la (1) e la (2) sono verificate. Per la (3) si osserva che:

 

e a cascata si giunge a  . Per la (4) si osserva che:

 

che contiene  ; dunque, per il secondo lemma, esiste un intervallo   contenuto in   tale che:

 

Similmente per la (5), poiché:

 

che contiene  , si deduce, sempre grazie al secondo lemma, che esiste un intervallo   tale che  .

BibliografiaModifica

  • (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.
  • (EN) Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.
  • (EN) Conway, J. H. and Guy, R. K. "Periodic Points." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 207-208, 1996.
  • (EN) Devaney, R. L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989.
  • (EN) Elaydi, S. "On a Converse of Sharkovsky's Theorem." Amer. Math. Monthly 103, 386-392, 1996.

Voci correlateModifica

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