Teorema di Sharkovsky

In matematica e fisica, il teorema di Sharkovsky è un risultato di estrema importanza nello studio delle orbite periodiche di un sistema dinamico discreto. Il teorema afferma che se si ha un sistema dinamico in cui la funzione di iterazione $f$ è una funzione continua avente dominio e immagine in un intervallo reale $I$, allora se il sistema ammette un'orbita di periodo $s$ esso ammette anche orbite di periodo $k$ se $k$ precede $s$ in un particolare ordinamento detto ordinamento di Sharkovsky.

Ordinamento di Sharkovsky

Dato un intervallo $I\subset \mathbb {R}$, sia $f:I\to I$ una funzione continua. Il numero $x$ è un punto periodico di periodo $m$ se $f^{m}(x)=x$, dove $f^{m}$ è la composizione di $m$ copie di $f$. Si tratta di un punto periodico avente periodo primitivo $m$ se, inoltre, $f^{k}(x)\neq x$ per tutti gli $0<k<m$.

Per conoscere i possibili periodi dei punti periodici di $f$, si consideri il seguente ordinamento di numeri naturali, detto ordinamento di Sharkovsky:

${\begin{array}{cccccccc}3&5&7&9&11&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{0}&\ldots \\3\cdot 2&5\cdot 2&7\cdot 2&9\cdot 2&11\cdot 2&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{1}&\ldots \\3\cdot 2^{2}&5\cdot 2^{2}&7\cdot 2^{2}&9\cdot 2^{2}&11\cdot 2^{2}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{2}&\ldots \\3\cdot 2^{3}&5\cdot 2^{3}&7\cdot 2^{3}&9\cdot 2^{3}&11\cdot 2^{3}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{3}&\ldots \\&\vdots \\\ldots &2^{n}&\ldots &2^{4}&2^{3}&2^{2}&2&1\end{array}}$

dove ogni numero naturale compare una e una sola volta all'interno dell'ordinamento di Sharkovsky, dunque è un ordinamento totale sui numeri naturali.

Il teorema di Sharkovsky stabilisce che se $f$ ha punto periodico di periodo primitivo $m$ e $m$ precede $n$ nell'ordinamento di Sharkovsky, allora $f$ possiede anche un punto periodico con periodo primitivo $n$.

In particolare, se non esiste un'orbita 8-periodica allora non può esistere nessuna orbita all'infuori di quella 2-periodica e di quella 4-periodica. E se non esistono orbite 2-periodiche, non vi saranno orbite di alcun periodo. L'esistenza di un'orbita di periodo 3 garantisce invece la presenza di orbite di ogni periodo. Il comportamento di un sistema dinamico in cui sia presente l'orbita 3-periodica è dunque particolarmente studiato.

Dimostrazione

Si consideri un caso particolare in cui esiste l'orbita 3-periodica; si vuole dimostrare che esistono orbite di ogni periodo. Siano dunque $a$, $b$ e $c$ i tre punti dell'orbita e si supponga che $f(a)=b$, $f(b)=c$ e $f(c)=a$. Si utilizzano due lemmi di carattere generale sulle funzioni continue:

• Teorema del punto fisso di Brouwer: sia $f$ una funzione continua. Se esiste un intervallo $I$ tale che $f(I)$ contenga $I$, allora esiste almeno un punto fisso in $I$, cioè esiste almeno un $p$ appartenente a $I$ tale che $f(p)=p$.
• Sia $f$ una funzione continua. Se esistono due intervalli $U$ e $V$ tali che $f(U)$ contenga $V$, allora esiste un intervallo $U_{0}$ contenuto in $U$ tale che $f(U_{0})=V$.

Per dimostrare l'esistenza di un'orbita 1-periodica, cioè un punto fisso, sia $I_{0}$ l'intervallo $[a,b]$ e $I_{1}$ l'intervallo $[b,c]$. Poiché $f(b)=c$ e $f(c)=a$, per il teorema dei valori intermedi $f(I_{1})$ contiene $[a,c]$ e dunque contiene $I_{1}$. Ma allora per il primo lemma esiste sicuramente un punto fisso per $f$ all'interno di $I_{1}$.

Sia dunque $n>1$ e $n\neq 3$. Si vuole dimostrare l'esistenza di un'orbita di minimo periodo $n$. Per fare questo si costruisce una famiglia di intervalli $J_{n}$ tale che:

1. $I_{1}=J_{0}\supset J_{1}\supset J_{2}\cdots \supset J_{n}$
2. $f(J_{k})=J_{k-1}\quad k=1,\ldots ,n-2$
3. $f^{k}(J_{k})=I_{1}$
4. $f^{n-1}(J_{n-1})=I_{0}$
5. $f^{n}(J_{n})=I_{1}$

Prima di dimostrare che gli intervalli $J_{n}$ esistono, si nota come essi possono aiutare a dimostrare l'esistenza dell'orbita n-periodica: la (5) implica che $f(J_{n})$ contiene $J_{n}$ e dunque, per il primo lemma, esiste un punto fisso $p$ per l'iterata n-esima che per costruzione sta in $I_{1}$. Questo però non è detto che appartenga ad un'orbita di minimo periodo $n$ (a meno che $n$ non sia primo), poiché se $n$ è pari, ogni punto di un'orbita 2-periodica, appartiene anche all'orbita n-periodica.

Si nota che $p$ non può coincidere con $c$; infatti se così fosse, poiché $f(p)=f(c)=a$ e dato che l'unica iterata che consente di uscire dall'intervallo $I_{1}$ è la (n-1)-esima, si avrebbe che $n=2$, contraddicendo l'ipotesi che $c$ faccia parte dell'orbita 3-periodica. Ma $p$ non può nemmeno essere uguale a $b$, poiché $f^{2}(p)=f^{2}(b)=a$ implicherebbe, per lo stesso motivo di prima, $n=3$, ma per ipotesi abbiamo deciso di considerare $n$ diverso da 3. Dunque $p$ appartiene all'intervallo aperto $(b,c)$. Ma poiché $f^{n-1}(p)$ appartiene a $I_{0}$, si ha che $p$ è diverso da $f^{n-1}(p)$, poiché appartengono a due intervalli disgiunti. Ne segue che $p$ non può appartenere ad un'orbita (n-1)-periodica. Se poi il periodo fosse strettamente minore di n-1, la (3) implicherebbe che l'orbita deve rimanere sempre all'interno di $I_{1}$, ma la (4) mostra che questo è impossibile. Dunque il minimo periodo dell'orbita cui $p$ appartiene è $n$.

Rimane da dimostrare l'esistenza degli intervalli $J_{k}$. Per costruirli si pone $J_{0}=I_{1}$; perciò $f(J_{0})$ contiene $I$ che contiene $J_{0}$ e per il secondo lemma esiste dunque un intervallo $J_{1}$ contenuto in $J_{0}$ tale che $f(J_{1})=J_{0}$. Ma il fatto che $f(J_{1})=J_{0}$ e che $J_{0}$ contiene $J_{1}$ implicano l'esistenza di un intervallo $J_{2}$ contenuto in $J_{1}$ tale che $f(J_{2})=J_{1}$, e così via fino a $J_{n-1}$. In questo modo la (1) e la (2) sono verificate. Per la (3) si osserva che:

$f^{k}(J_{k})=f^{k-1}(f(J_{k}))=f^{k-1}(J_{k-1})$

e a cascata si giunge a $f^{k}(J_{k})=J_{0}=I_{1}$. Per la (4) si osserva che:

$f^{n-1}(J_{n-2})=f(f^{n-2}(J_{n-2}))=f(I_{1})=I$

che contiene $I_{0}$; dunque, per il secondo lemma, esiste un intervallo $J_{n-1}$ contenuto in $J_{n-2}$ tale che:

$f^{n-1}(J_{n-1})=I_{0}$

Similmente per la (5), poiché:

$f^{n}{J_{n-1}}=f(f^{n-1}(J_{n-1}))=f(I_{0})$

che contiene $I_{1}$, si deduce, sempre grazie al secondo lemma, che esiste un intervallo $J_{n}$ tale che $f^{n}(J_{n})=I_{1}$.

Bibliografia

• (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.
• (EN) Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.
• (EN) Conway, J. H. and Guy, R. K. "Periodic Points." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 207-208, 1996.
• (EN) Devaney, R. L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989.
• (EN) Elaydi, S. "On a Converse of Sharkovsky's Theorem." Amer. Math. Monthly 103, 386-392, 1996.

Voci correlate

• Orbita (matematica)
• Punto periodico
• Sistema dinamico
• Teorema del punto fisso di Brouwer

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Sharkovsky, su MathWorld, Wolfram Research.