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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando la nozione generale di orbita di un elemento di un insieme sotto un'azione di gruppo, vedi azione di gruppo.

In matematica, in particolare in geometria differenziale, un'orbita di un sistema dinamico è una traiettoria percorsa dal sistema nello spazio delle fasi, ovvero una funzione che soddisfa l'equazione che definisce il sistema dinamico stesso.

Se il sistema dinamico è continuo, cioè è determinato da un'equazione differenziale ordinaria autonoma:

con un campo vettoriale differenziabile definito nello spazio delle fasi , un'orbita è una soluzione dell'equazione. Dal momento che il flusso del sistema nel punto è la soluzione quando è preso come il punto di inizio dell'evoluzione del sistema, ovvero , si ha che l'orbita passante per è talvolta scritta come l'insieme:

Indice

DefinizioneModifica

 
Orbita periodica di un moto armonico.

Dato un sistema dinamico   dove   è un gruppo,   un insieme e  , con  , si definisce:

 

Allora l'insieme:

 

è l'orbita passante per  . Se l'orbita consiste in un solo punto allora si dice orbita costante; ad esempio l'orbita in corrispondenza di un punto di equilibrio.

Un'orbita non costante è detta orbita periodica o orbita chiusa se esiste   tale per cui   per ogni punto   dell'orbita.

Sistemi dinamici reali (flussi)Modifica

Dato un sistema dinamico reale su   con evoluzione  , sia   un intervallo aperto:

 

La curva:

 

è la semi-orbita positiva passante per  , mentre:

 

è la semi-orbita negativa passante per  .

Sistemi dinamici discreti (mappe)Modifica

Si consideri un sistema discreto avente funzione di evoluzione (ricorsiva)  , con   il numero di iterazione. Detto   il punto iniziale, l'orbita passante per   è:

 

dove:

 

e:

 

Sistemi dinamici in due dimensioniModifica

Dato un sistema di equazioni differenziali in   del seguente tipo:

 

La curva descritta nel piano al variare di   da ogni soluzione   e   del sistema è la traiettoria del sistema. Se il sistema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità di Cauchy, allora per ogni punto del piano passa un'orbita e una sola del sistema.

Le equazioni del sistema si possono interpretare da un punto di vista cinematico: il sistema descrive il moto di una particella   la cui velocità   è data in ogni punto da  . Le orbite del sistema sono le traiettorie chiuse descritte dalla particella e i punti critici sono i punti di equilibrio.

Sistemi dinamici lineariModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare.

L'andamento qualitativo delle soluzioni del sistema:

 

si ottiene derivando la prima equazione e inserendo al posto di   la seconda:

 

Dalla prima equazione si ricava   e sostituendo si ottiene l'equazione lineare:

 

riordinando i termini:

 

Si è così dimostrato che se   è una soluzione del sistema lineare allora le funzioni   e   risolvono l'uguaglianza precedente, la cui equazione caratteristica è:

 

e coincide con il polinomio caratteristico della matrice dei coefficienti del sistema assegnato:

 

ossia:

 

Dunque le radici:

 

sono gli autovalori della matrice  .

Il comportamento delle soluzioni del sistema dipende dalla natura degli autovalori, e si distinguono i vari casi:

  • Nodo stabile:  
  • Nodo instabile:  
  • Sella (instabile):   e   oppure   e  
  • Centro (stabile):  
  • Fuoco stabile:   con  
  • Fuoco instabile:   con  

BibliografiaModifica

  • (EN) Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge, 1996, ISBN 0-521-57557-5.

Voci correlateModifica