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In algebra, i teoremi di Sylow sono dei risultati fondamentali della teoria dei gruppi finiti, che permettono la scomposizione di gruppi in sottogruppi il cui studio è più facile.

Essi affermano quanto segue. Sia un gruppo finito di ordine (ovvero costituito da elementi). Sia un numero primo. Allora per ogni potenza di che divida esistono sottogruppi di di ordine . Inoltre, se è la massima potenza di che divida , allora i sottogruppi di di ordine sono coniugati fra loro.

Questi teoremi sono stati dimostrati per la prima volta nel 1872 da Ludwig Sylow, e pubblicati sulla prestigiosa rivista Matematische Annalen.

Indice

Primo Teorema di SylowModifica

EnunciatoModifica

Sia   un gruppo finito, e sia   il suo ordine (ovvero il numero dei suoi elementi). Allora per ogni primo   ed ogni intero   tali che   divida  , esiste un sottogruppo di   di ordine  .

DimostrazioneModifica

È sufficiente dimostrare il teorema per il più grande   che divide  . Quindi scriviamo  , denotando con   un intero positivo non divisibile per  . Denotiamo allora con   la collezione di tutti i sottoinsiemi di   formati da   elementi:

 

La cardinalità di   non è divisibile per  . Infatti è fornita dall'espressione

  .

Essa fornisce un intero non divisibile per  : infatti un divisore di   potrebbe provenire solo da fattori del denominatore della forma   con   divisibile per  ; per ciascuno di questi   scriviamo  , nella quale si intende che   non sia divisibile per p; nella espressione precedente si può quindi isolare il fattore

 

il quale non è in grado di fornire a   un fattore razionale contenente una potenza positiva di  ; si conclude che è possibile semplificare il numeratore e il denominatore della precedente espressione per  , in modo da ottenere una espressione che deve fornire un intero positivo il quale non è divisibile per  .

Definiamo un'azione di   su  :

 

Sia   l'orbita di   tramite l'azione. Esiste sicuramente un   la cui orbita   ha cardinalità non divisibile per   (poiché le orbite formano una partizione di  , e   non è multiplo di  ).

Sia   lo stabilizzatore di  . Applicando il teorema delle azioni si ottiene:

 

Il numero   divide  , ma   non divide  : allora   divide  . Ne segue che

 

D'altra parte, fissato un elemento   in  , l'applicazione

 
 

è iniettiva. Quindi vale anche

 

Ne segue che   è un sottogruppo di cardinalità  .

Secondo Teorema di SylowModifica

Per enunciare il secondo teorema di Sylow, è utile definire i cosiddetti p-Sylow.

Definizione di p-sottogruppo di SylowModifica

Sia   un gruppo finito, e sia   un numero primo che divida l'ordine   di  . Sia  , con   non divisibile per  . (Dunque   è la massima potenza di   che divide l'ordine di  .) Si definisce  -sottogruppo di Sylow (o semplicemente  -Sylow) di   ogni sottogruppo di   di ordine  .

EnunciatoModifica

Sia   un gruppo, e sia  , con   ed   coprimi. Allora, tutti i p-Sylow di   sono coniugati, ovvero, detto Sylp(G) l'insieme dei p-Sylow di  ,  

DimostrazioneModifica

Chiamiamo (per agilità di notazioni) A:=Sylp(G). Per mostrare che tutti i p-Sylow di   sono coniugati, basta mostrare che l'azione per coniugio sull'insieme   è transitiva, ovvero ha una sola orbita.

 
 

Procediamo per assurdo. Siano D1 e D2 due orbite distinte, e siano P un elemento di D1, Q un elemento di D2 e x un elemento di Q. Osserviamo che il coniugio di P tramite x, che indichiamo con  , è un elemento di D1. Dunque possiamo restringere l'azione a D1:

 
 

Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(Pi), al variare di Pi in D1. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che

 

dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che in un'azione per coniugio lo stabilizzatore dell'elemento Pi è proprio il normalizzante in   di Pi. Poiché gli stabilizzatori sono sottogruppi di   e poiché   è un p-Sylow, ogni orbita ha ordine o   o una potenza propria di   (è un'immediata conseguenza del teorema di Lagrange). Allo stesso tempo, poiché P appartiene a D1, possiamo dire che D1 è l'orbita di   nella prima azione che abbiamo definito. Dunque,  . Per il teorema di Lagrange,  . Dunque, ne segue che  . Dunque,   è un divisore di m e pertanto non è diviso da p. Dunque anche   non è diviso da p, quindi gli addendi che compaiono nella sommatoria scritta precedentemente non possono essere tutti potenze di p (poiché altrimenti sarebbero divisibili per p). Da ciò segue che esiste almeno un j tale che  . Questo significa che  , e quindi che  . Il che implica che  , poiché  . Dunque,   e il suo ordine vale:

 .

Il numeratore vale   poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto   e  . Ovviamente il denominatore non può valere pk, poiché se così fosse risulterebbe  , ma questo non è possibile perché appartengono a due orbite che per ipotesi avevamo supposto distinte. Dunque,  , con  . Ma questo è un assurdo, poiché  . Dunque l'ipotesi che D1 e D2 fossero distinte è falsa, e l'azione è transitiva.

Terzo Teorema di SylowModifica

Il terzo teorema di Sylow fornisce importanti informazioni sul numero dei p-Sylow di un gruppo, utilizzando i concetti di divisibilità e di congruenza.

EnunciatoModifica

Sia G un gruppo, e sia |G|=pkm, con p ed m coprimi. Allora, detto np il numero dei p-Sylow di G, risulta:

  • np | m
  • np ≡ 1 mod p

DimostrazioneModifica

Detto A:=Sylp(G), ovviamente np = |A|. Considerando PA, per il secondo teorema di Sylow risulta che |A|=|O(P)|, considerando l'azione per coniugio di G su A. Dunque,  , dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che lo stabilizzatore di P nell'azione per coniugio è proprio il normalizzante di P in G. Per il Teorema di Lagrange,  . Dunque, poiché |P| = pk,   divide m. Poiché np = |A|, ne segue che np | m.

Rimane da provare la seconda parte della tesi. A tale scopo consideriamo QA e definiamo l'azione

 
 

Questa azione ha un numero r di orbite, che indichiamo con O(Pi), al variare di Pi in A. Per l'equazione delle orbite, segue dunque che

 

Tutte queste orbite hanno lunghezza o 1 o una potenza propria di p. Osserviamo innanzitutto che   e che  . Per verificare la tesi, dobbiamo a questo punto solo mostrare che tutte le altre orbite hanno lunghezza un multiplo di p. Supponiamo, per assurdo, che l'orbita di Q non sia l'unica di lunghezza 1, ovvero supponiamo che esista   tale che  . Allora  , ovvero  . Il che implica che  , poiché  . Dunque,   e il suo ordine vale:

 .

Il numeratore vale   poiché entrambi appartengono ad A; al denominatore troviamo invece una potenza di p, con esponente strettamente minore di k, in quanto   e  . Ovviamente il denominatore non può valere pk, poiché se così fosse risulterebbe  , ma questo non è possibile perché avevamo supposto per ipotesi che fosse  . Dunque,  , con  . Ma questo è un assurdo, poiché  . Dunque l'ipotesi che esistesse un'altra orbita, oltre a quella di Q, di lunghezza 1 è un assurdo. Quindi,

 

Due semplici applicazioniModifica

Un gruppo di ordine   con   e   primi,   minore di   che non divide  , per esempio di ordine  , è necessariamente un gruppo ciclico.

Il numero nq di q-Sylow è congruo 1 modulo q e divide p quindi si ha necessariamente nq=1 essendo p minore di q. Inoltre essendo np ≡ 1 mod p e poiché np divide q deve essere np=1 (non può essere q per la condizione che p non divide q-1). Ogni Sylow è quindi un sottogruppo normale. Ma allora   si può realizzare come prodotto diretto dei suoi Sylow (che hanno come elemento comune solo l'identità). Inoltre p e q sono primi fra loro quindi il gruppo è ciclico.

Si osservi l'importanza della condizione che p non divida q-1: basta pensare che esistono due gruppi di ordine   (quello ciclico e il gruppo simmetrico su tre oggetti).


Vediamo perché un gruppo   di ordine   contiene un sottogruppo ciclico normale di ordine 11. Il numero di 3-Sylow deve essere congruo a 1 modulo 3 e deve dividere 44, le uniche possibilità sono 1,4 e 22. Il numero di 11-Sylow invece deve essere congruo a 1 modulo 11 e dividere 12 quindi n11=1 o n11=12. Se fosse n3=22 avremmo 44 elementi di periodo 3 e questo implica n11=1 perché altrimenti ci sarebbero 120 elementi di periodo 11: troppi!

Qualora fosse n3=1 il 3-Sylow C3 sarebbe normale. Allora G/C3 avrebbe ordine 44 e conterrebbe un sottogruppo normale di ordine 11. A questo sottogruppo corrisponde un sottogruppo normale   di   di ordine 33, quindi ciclico. Un elemento di periodo 11 in   genera il sottogruppo normale di ordine 11 cercato.

L'ultima possibilità è n3=4. Anche in questo caso n11 non può valere 12. Se così fosse avremmo 8 elementi di periodo 3, 120 di periodo 11 e l'identità. C'è posto solo per 3 elementi di periodo 2. Allora il 2-Sylow S2 è normale. Vediamo il quoziente G/S2: ha ordine 33. Questo è ciclico e contiene un sottogruppo di ordine 11. A questo corrisponde un sottogruppo normale di   di ordine 44. Tale sottogruppo ha esattamente 10 elementi di periodo 11: troppo pochi (avevamo supposto che   ne avesse complessivamente 120).

BibliografiaModifica

  • Claudia Menini, Freddy Van Oystaeyen, Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment, CRC Press, ISBN 978-0-8247-0985-3
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