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In algebra, un'azione di gruppo è una mappa che consente di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture, per esempio strutture algebriche).

Indice

DefinizioneModifica

Siano G un gruppo ed A un insieme. Si dice azione di gruppo (ovvero G-azione) una funzione:

 
 

dove   è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

  •  
  •  [1]

Quest'ultima proprietà non va confusa con quella associativa che è definita solo per elementi di uno stesso insieme, mentre g, h e a appartengono a insiemi diversi.

In letteratura, data una G-azione su un insieme A, si dice anche che il gruppo G agisce su A o che A è un G-insieme.[2][3]

OrbiteModifica

Data la relazione di equivalenza   su  

 

le classi di equivalenza così definite si dicono orbite. Le orbite formano una partizione di  . L'orbita contenente l'elemento   è data da

 

Nel caso di un'azione di coniugio, le orbite prendono il nome di classi di coniugio.

Numero di orbiteModifica

Se il gruppo finito   agisce sull'insieme finito  , per il lemma di Burnside (dovuto a Frobenius) il numero di orbite di tale azione è pari a:

 

dove

 

è l'insieme degli elementi di   che sono lasciati fissi dall'elemento   di  .

Sistemi dinamiciModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Orbita (matematica).

Nell'analisi dei sistemi dinamici, l'evoluzione di un sistema dinamico viene formalizzata da un omomorfismo di gruppo   che induce un'azione continua di un gruppo topologico G su un'algebra localmente convessa A. In tal caso le orbite sono le traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi.

StabilizzatoreModifica

Dato un punto   in  , si definisce stabilizzatore di   il sottogruppo di   formato dagli elementi che fissano  :

 

Lo stabilizzatore è un sottogruppo di G.

Per un gruppo finito, l'orbita   di un elemento   conta tanti elementi quanti l'indice dello stabilizzatore   in  . Vale allora la seguente formula per il calcolo dell'ordine di  :

 

Una biiezione esplicita fra le classi laterali

 

e l'orbita   è data da:

 
 

Azioni sinistre e destreModifica

L'azione definita viene detta più propriamente azione a sinistra. Si può definire in maniera analoga un'azione a destra   di   su  , per la quale valgono risultati analoghi a quelli dell'azione a sinistra.[4]

Definizioni ulterioriModifica

Un'azione è fedele se ogni elemento di   sposta almeno un punto di  :

 

Un'azione è libera se gli stabilizzatori sono tutti banali:

 

Un'azione è transitiva se esiste un'unica orbita:

 

Un'azione è semplicemente transitiva se:

 

Un punto fisso è un elemento   in   che è lasciato invariato da tutti gli elementi di  , ovvero la sua orbita si riduce al solo elemento  :

 

Si hanno analoghe definizioni per le azioni destre. Inoltre, si noti che ogni azione libera è fedele, mentre se G agisce liberamente e transitivamente su A, allora l'azione risulta semplicemente transitiva.

Azioni e permutazioniModifica

Se   è un'azione del gruppo   sull'insieme non vuoto   allora per ogni   la funzione   è una permutazione di  , in effetti l'insieme   costituisce un sottogruppo del gruppo simmetrico di  . In particolare   è isomorfo a   se e solo se l'azione è fedele.

EsempiModifica

  • Ogni gruppo agisce su se stesso, tramite traslazione:
 
 
  • Sia   uno spazio vettoriale di dimensione finita  . Si consideri il gruppo delle funzioni lineari invertibili  . Allora
 
 

è un'azione di   su  

Azioni su spazi topologiciModifica

Supponiamo ora che   sia uno spazio topologico. Sia   lo spazio delle orbite dotato della topologia quoziente e sia   la proiezione naturale

 

Per definizione di topologia quoziente la mappa   è una funzione continua.

Azioni e rivestimentiModifica

Un caso molto studiato in topologia è quello in cui la mappa   è un rivestimento. Affinché questo accada, sono necessarie alcune ipotesi sull'azione.

L'azione è detta propriamente discontinua se per ogni coppia di sottoinsiemi compatti   e   di   l'intersezione

 

è non vuota solo per un numero finito di elementi   del gruppo  .

Se   è uno spazio di Hausdorff localmente compatto, le condizioni seguenti sono equivalenti.

  •   agisce in modo libero e propriamente discontinuo.
  •   è di Hausdorff e ogni   in   ha un intorno aperto   tale che
 

per ogni   in  .

  •   è di Hausdorff e la proiezione   è un rivestimento.

EsempiModifica

Il gruppo   agisce sulla sfera  : si associa all'elemento "1" la mappa antipodale. L'azione è libera e propriamente discontinua. Lo spazio quoziente è lo spazio proiettivo reale  .

NoteModifica

  1. ^ Bosch, S., p. 218.
  2. ^ Sernesi, E., p. 81.
  3. ^ Kosniowski, C.,  p. 39.
  4. ^ Manetti, M., pp. 217-219.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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