Teorema di inversione di Lagrange

Nell'analisi matematica, il teorema di inversione di Lagrange, anche conosciuto come la formula di Lagrange–Bürmann, fornisce l'espansione in serie di Taylor dell'inversa di una funzione analitica.

EnunciatoModifica

Sia   definita come una funzione di   tramite un'equazione nella forma

 

dove   è analitica nel punto   e inoltre  . Allora è possibile invertire o risolvere l'equazione per   nella forma di una serie in termini di  , ovvero[1]

 

dove

 

Il teorema afferma inoltre che la serie ha un raggio di convergenza non nullo, ossia che rappresenta una funzione analitica di   (che si potrebbe indicare con   in un intorno di  . Questo procedimento è anche chiamato reversione delle serie.

Se l'ipotesi di analiticità della funzione non è verificata, la formula è ancora valida per serie formali di potenze e può essere generalizzata in numerosi modi. Può essere formulata per funzioni di più variabili, può essere estesa per fornire una formula pronta per   per qualunque funzione analitica  , e infine generalizzata al caso  , dove l'inversa   è una funzione polidroma.

Il teorema fu dimostrato da Lagrange[2] e generalizzato da Hans Heinrich Bürmann,[3][4][5], entrambi nel tardo XVIII secolo. C'è una chiara derivazione usando l'analisi complessa e l'integrazione sui contorni;[6] la versione delle serie formali di potenze complesse è una conseguenza della conoscenza della formula per i polinomi, perciò la teoria delle funzioni analitiche può essere applicata.

Se   è una serie formale di potenze, allora la formula sopra non dà i coefficienti dell'inversa moltiplicativa   direttamente in termini dei coefficienti di  . Se è possibile esprimere le funzioni   e   in serie formali di potenze come

 

con   e  , allora una forma esplicita dei coefficienti inversi può essere data in termini dei polinomi di Bell:[7]

 

dove          e      essendo il fattoriale crescente.

Quando  , l'ultima formula può essere interpretata in termini delle facce dell'associaedro[8]

 

con   per ogni faccia   dell'associaedro  .

EsempioModifica

Per esempio, l'equazione algebrica di grado   nella forma

 

può essere risolta in   mediante la formula di inversione di Lagrange applicata alla funzione  , portando alla soluzione in serie formale

 

Dai test di convergenza, questa serie è infatti convergente per  , che è anche il più grande disco in cui un'inversa locale di   può essere definita.

ApplicazioniModifica

Formula di Lagrange–BürmannModifica

Esiste un caso speciale del teorema di inversione di Lagrange che è usato in combinatoria e applicato quando   per qualche funzione analitica   con  . Prendendo   si ottiene   e inoltre

 
 

che alternativamente può essere scritta come

 

dove   è un operatore che estrae i coefficienti di   nella serie di Taylor di una funzione di  .

Una generalizzazione utile della formula è conosciuta come formula di Lagrange–Bürmann:

 

dove   è un'arbitraria funzione analitica.

A volte, la derivata   può essere piuttosto complicata, così una versione più semplice della formula sostituisce   con   per ottenere

 

che coinvolge   invece di  .

Funzione W di LambertModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione W di Lambert.

La funzione W di Lambert è una funzione   che è implicitamente definita dall'equazione

 

È possibile usare il teorema per calcolare i coefficienti della serie di taylor di   in  . Prendendo  ,   e riconoscendo che

 

si ottiene

 

Il raggio di convergenza di questa serie è   (questo esempio si riferisce al ramo principale della funzione di Lambert).

Una serie che converge per   maggiori (sebbene non per tutti) può essere derivata dall'inversione della serie di un'altra funzione. La funzione   soddisfa l'equazione

 

Allora   si può espandere in serie di potenze e invertirla. Questo da una serie per  :

 

  si calcola sostituendo   al posto di   nella serie di sopra. Per esempio, sostituendo   e quindi   si ha il valore di  .

Alberi binariModifica

Si consideri l'insieme   degli alberi binari non etichettati. Un elemento di   è o una foglia di grandezza nulla, oppure una radice con due sottoalberi.   denota il numero di alberi binari con   nodi.

Si noti che rimuovere la radice divide l'albero binario in due alberi di grandezza più piccola. Questo fornisce l'equazione funzionale della funzione generatrice  :

 

Ponendo  , si ha così  . Ora applicando il teorema di inversione alla funzione  ,

 

Si conclude così che   è un numero di Catalan.

Approssimazione asintotica di integraliModifica

Nel teorema di Laplace-Erdelyi che fornisce l'approssimazione asintotica per integrali del tipo di Laplace, l'inversione della funzione è un passo cruciale del procedimento.

NoteModifica

  1. ^ M. Abramowitz, I. A. Stegun (a cura di), 3.6.6. Lagrange's Expansion, in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, Dover, 1972, p. 14.
  2. ^ Lagrange, Joseph-Louis, Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries, in Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, vol. 24, 1770, pp. 251–326. URL consultato il 2 aprile 2018 (archiviato dall'url originale il 30 giugno 2012). (Note: Although Lagrange submitted this article in 1768, it was not published until 1770.)
  3. ^ Bürmann, Hans Heinrich, "Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum," submitted in 1796 to the Institut National de France. For a summary of this article, see: Hindenburg, Carl Friedrich (a cura di), Versuch einer vereinfachten Analysis; ein Auszug eines Auszuges von Herrn Bürmann [Attempt at a simplified analysis; an extract of an abridgement by Mr. Bürmann], in Archiv der reinen und angewandten Mathematik [Archive of pure and applied mathematics], vol. 2, Leipzig, Germany, Schäferischen Buchhandlung, 1798, pp. 495–499.
  4. ^ Bürmann, Hans Heinrich, "Formules du développement, de retour et d'integration," submitted to the Institut National de France. Bürmann's manuscript survives in the archives of the École Nationale des Ponts et Chaussées [National School of Bridges and Roads] in Paris. (See ms. 1715.)
  5. ^ A report on Bürmann's theorem by Joseph-Louis Lagrange and Adrien-Marie Legendre appears in: "Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann," Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques, vol. 2, pages 13–17 (1799).
  6. ^ E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press; 4th edition (January 2, 1927), pp. 129–130
  7. ^ Eqn (11.43), p. 437, C.A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, Chapman & Hall / CRC, 2002
  8. ^ Aguiar, Marcelo; Ardila, Federico (2017). "Hopf monoids and generalized permutahedra". arXiv: 1709.07504

Voci correlateModifica

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