Topologia cofinita

La topologia cofinita su un insieme X è la topologia i cui chiusi sono tutti e soli i sottoinsiemi finiti, oltre a X stesso.[1]

Un sottoinsieme cofinito di un insieme X è un sottoinsieme A di X che contiene tutti gli elementi di X tranne un numero finito di essi. In altri termini, il suo complemento in X è un insieme finito.

Questa topologia è la meno fine fra tutte quelle che soddisfano l'assioma T1 di separabilità; in altre parole, è la meno fine fra tutte quelle in cui ciascun punto costituisce un insieme chiuso.

Proprietà

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  • Su uno spazio finito le topologie discrete e cofinita coincidono.
  • Uno spazio con la topologia cofinita è di Hausdorff se e solo se è finito.
  • Tutti i sottoinsiemi di uno spazio con la topologia cofinita sono compatti, benché non siano necessariamente chiusi: questo è possibile perché lo spazio non è di Hausdorff.
  • Gli spazi topologici con topologia cofinita a meno di omeomorfismo sono classificati dalla loro cardinalità.

Dimostrazione

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La topologia cofinita T è effettivamente una topologia, perché i sottoinsiemi finiti verificano gli assiomi di spazio topologico riguardanti gli insiemi chiusi: l'unione finita e l'intersezione arbitraria di insiemi finiti è infatti un insieme finito.

  1. ^ M. Manetti, p. 39.

Bibliografia

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Voci correlate

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