Topologia di Krull

La topologia di Krull è la topologia che più spesso viene messa sul gruppo di Galois di un'estensione di campi, in modo da renderlo un gruppo topologico. Nel caso di estensioni di Galois finite, tale topologia è solitamente di poco interesse e coincide con la discreta, per cui essa si rivela particolarmente importante nello studio di estensioni di Galois infinite.


Definizione

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Indicheremo d'ora in poi con   l'estensione di campi   . Diciamo che   è di Galois se è un'estensione algebrica normale e separabile, e denotiamo con   il suo gruppo di Galois.

Se   è di Galois infinita, sia

 

l'insieme delle sottoestensioni finite di  .

Possiamo immergere   nel prodotto diretto di gruppi   nel seguente modo: per ogni   sia   la mappa che porta ogni automorfismo   nella sua restrizione  , e sia   la mappa che porta ogni   nella successione delle sue restrizioni agli  , cioè  .

Allora, la   è iniettiva e, per il primo teorema di isomorfismo, la sua immagine è isomorfa a  .

Definiamo ora una topologia come segue:

  • su ciascun gruppo   mettiamo la topologia discreta;
  • sul prodotto   mettiamo la topologia prodotto;
  • sull'immagine di   contenuta nel prodotto mettiamo la topologia di sottospazio;
  • infine, su   mettiamo la topologia indotta da   come isomorfismo di gruppi, cioè la meno fine topologia che renda   un omeomorfismo.

La topologia così ottenuta è la topologia di Krull sul gruppo di Galois.

Una definizione alternativa

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La topologia di Krull si definisce, alternativamente, in un modo meno costruttivo e più astratto, tuttavia utile nelle applicazioni.

Sia   la famiglia dei gruppi di Galois delle sottoestensioni   su  , la   definita come sopra. Possiamo dotare la   di una famiglia di mappe, corrispondenti alle restrizioni degli automorfismi, nel seguente modo: se   e  , allora   porta ogni automorfismo   in   la sua restrizione su  . Si noti che tale restrizione è ben definita, perché   è un'estensione normale per ipotesi.

La  , dotata delle mappe di restrizione così definite, diventa un sistema proiettivo. Anche se finora si è parlato solo di gruppi, i   con   sono in realtà gruppi topologici, se su di essi si mette la topologia discreta. Allora, la   con le restrizioni è in realtà un sistema proiettivo di gruppi topologici. Il suo limite inverso è un gruppo topologico: come gruppo, si vede essere proprio  . La topologia, limite inverso delle topologie discrete sui  , che risulta posta su   si dice per definizione la topologia di Krull.

Prime proprietà

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Si può dimostrare che   con la topologia di Krull è T2, compatto e totalmente sconnesso. Questi risultati derivano facilmente dall'osservazione che una base è data dalle classi laterali   dei nuclei delle  .

Altre proprietà importanti sono:

  •   è un gruppo topologico con la topologia di Krull, cioè la moltiplicazione e il passaggio all'inversa sono mappe continue;
  • un sistema di intorni di   è dato dai gruppi  ;
  • per continuità del prodotto, segue che un sistema di intorni   è dato dai   al variare di  .

Bibliografia

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  • Siegfried Bosch, Algebra, in Unitext, traduzione di Alessandra Bertapelle, Milano: Springer-Verlag Italia, 2003, ISBN 88-470-0221-4.
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