Estensione normale

In matematica, e in particolare in teoria dei campi, un'estensione normale è un'estensione di campi algebrica tale che ogni polinomio irriducibile nell'anello dei polinomi che ha una radice in si spezza completamente in

Definizioni equivalentiModifica

Vi sono molte caratterizzazioni equivalenti delle estensioni normali. Se infatti   è un'estensione di campi, allora sono equivalenti:

  •   è un'estensione normale;
  • se  , allora tutte le radici del polinomio minimo di   su   sono in  ;
  • ogni automorfismo di una chiusura algebrica di   che fissa   è un automorfismo di  ;
  •   è il campo di spezzamento su   di una famiglia di polinomi di  .

Quando l'estensione   è anche finita, allora l'ultima di queste equivalenze può essere semplificata richiedendo che   sia il campo di spezzamento di un singolo polinomio di  .

EsempiModifica

  • Il campo   è un'estensione normale di   ,in quanto esso è il campo di spezzamento di  . Più in generale, qualsiasi estensione di grado 2 è normale.
  •   non è un'estensione normale di  : infatti,   ha come polinomio minimo  , le cui altre due radici non sono reali, e quindi non possono essere contenute dentro   (che è contenuto in  ).
  • Se   è la chiusura algebrica di  , allora   è normale, in quanto ogni polinomio di   si decompone linearmente in  .

ProprietàModifica

  • Per definizione, un'estensione   è di Galois se e solo se è normale e separabile.
  • Se   è un'estensione normale, e  , allora anche   è normale. In generale, invece, l'estensione   non è normale.
  • Se   e   sono estensioni normali, allora anche   e   (dove   è il campo generato da   ed  ) sono normali. Lo stesso avviene per una quantità infinita di estensioni normali.

Chiusura normaleModifica

Se   è un'estensione algebrica, esiste sempre un'estensione   di   che è la più piccola estensione normale di   contenente  ; essa è chiamata la chiusura normale di   su  , ed è unica a meno di isomorfismi.

Se   (cioè se   è generato su   da un insieme  ), allora la chiusura normale di   su   è generata dalle radici dei polinomi minimi su   degli elementi di  : ad esempio, la chiusura integrale di   su   è uguale a  , dove   è una radice primitiva terza dell'unità.

In particolare, se   è un'estensione finita anche la chiusura normale di   su   è un'estensione finita di  .

BibliografiaModifica

  • Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
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