Gruppo di Galois

In matematica, e più precisamente in algebra, un gruppo di Galois è un gruppo associato a un'estensione di campi. In particolare, vengono principalmente studiati i gruppi associati ad estensioni che sono di Galois.

La teoria di Galois si occupa dello studio delle estensioni di Galois tramite l'analisi dei rispettivi gruppi di Galois, come, ad esempio, i gruppi di Galois associati alle estensioni date da campi di spezzamento di polinomi separabili.

DefinizioneModifica

EstensioneModifica

Sia   una estensione di un campo  . Un  -automorfismo di   è un automorfismo

 

che fissa gli elementi di  , cioè tale che

 

per ogni   in  . Gli  -automorfismi di   formano un gruppo

 

Se   è un'Estensione di Galois allora il gruppo degli  -automorfismi di   è detto gruppo di Galois[1] ed è indicato con

 

PolinomiModifica

Se   è un polinomio separabile a coefficienti in un campo  , il gruppo di Galois di   è definito come il gruppo di Galois dell'estensione data dal campo di spezzamento   di   su  .

EsempiModifica

Negli esempi seguenti  ,  ,  , sono rispettivamente i campi formati dai numeri complessi, reali e razionali. La notazione   indica il più piccolo campo contenente   e  .

Campi razionali, reali, complessiModifica

  •   ha due elementi, l'identità e la coniugazione complessa.
  •   è banale (cioè ha come solo elemento l'identità): si mostra infatti che ogni automorfismo di   è continuo (segue dal fatto che preserva l'ordine dei numeri reali) e fissa ogni elemento di   e di conseguenza è l'automorfismo identico (poiché coincide con l'identità su un insieme denso di  ). Da ciò segue che l'estensione   su   non è di Galois.
  •   è un gruppo infinito.

Campi finitiModifica

Se   è un campo finito con caratteristica  , ovvero di ordine   per qualche naturale  , lo si può vedere come estensione di   (lo contiene come sottoanello fondamentale). Si ha che

  •  

ovvero il gruppo ciclico di ordine  , con   endomorfismo di Frobenius. Infatti si vede che tale endomorfismo nel caso finito è un automorfismo del campo e che fissa ogni elemento di   pertanto appartiene al gruppo di Galois dell'estensione. Inoltre l'ordine di tale gruppo è uguale al grado dell'estensione, cioè   (si veda la costruzione dei campi finiti) e l'ordine nel gruppo dell'elemento   è esattamente  , pertanto esso è un generatore.

Radici e polinomiModifica

  •   ha due elementi: l'identità e l'automorfismo che scambia   con  .
  • Sia  , dove   è una radice terza primitiva dell'unità. Il gruppo   è isomorfo al gruppo   delle permutazioni di tre elementi. Il campo   è il campo di spezzamento del polinomio   su  .

NoteModifica

  1. ^ In alcuni testi, questo gruppo viene detto di Galois anche se la corrispondente estensione di campi non è di Galois.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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