Trasformata di Mellin

La trasformata di Mellin, il cui nome deriva dal matematico finlandese Hjalmar Mellin, è una trasformata integrale che può essere considerata la versione moltiplicativa della trasformata di Laplace bilatera.

DefinizioneModifica

La trasformata di Mellin di una funzione   è data da:

 

Se le condizioni poste dal teorema di inversione di Mellin sono soddisfatte si può definire la trasformata inversa di Mellin:

 

dove l'integrale di linea è valutato lungo una linea verticale nel piano complesso.

Relazione con le altre trasformateModifica

La trasformata di Mellin può essere definita attraverso la trasformata di Laplace bilatera come:

 

e viceversa, la trasformata di Laplace bilatera può essere definita a partire dalla trasformata di Mellin nel seguente modo:

 

La trasformata di Laplace bilatera integra rispetto alla misura di Haar additiva  , che è invariante sotto traslazione:

 

mentre la trasformata di Mellin può essere vista come un'integrazione che utilizza il nucleo integrale   rispetto alla misura di Haar moltiplicativa  , che è invariante rispetto ad una dilatazione del tipo  , e dunque:

 

La trasformata di Mellin si può anche definire in termini della trasformata di Fourier:

 

e viceversa:

 

BibliografiaModifica

  • (EN) A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger e F. Tricomi Tables of Integral transforms v. 1 (McGrawHill, NY, 1954)
  • (EN) A. H. Zemanian Generalized Integral Transformations cap. 4 (John Wiley & Sons, 1968)
  • (EN) I. N. Sneddon Fourier Transforms cap. 1 (Dover, NY, 1995)
  • (EN) R. B. Paris e D. Kaminski, Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001.
  • (EN) A. D. Polyanin e A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, Boca Raton, CRC Press, 1998, ISBN 0-8493-2876-4.
  • (EN) P. Flajolet, X. Gourdon e P. Dumas, Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums, in Theoretical Computer Science, vol. 144, n. 1-2, 1995, pp. 3–58.
  • (EN) Janos Galambos e Italo Simonelli, Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions, Marcel Dekker, Inc., 2004, ISBN 0-8247-5402-6.

Voci correlateModifica

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