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In teoria degli insiemi un ultrafiltro è un filtro proprio sull'insieme tale che ogni sottoinsieme di o il suo complemento appartiene ad , in formule

Sia il concetto di filtro che di ultrafiltro furono introdotti da Henri Cartan nel 1937.

ProprietàModifica

Ogni filtro principale è un ultrafiltro, per dimostrare ciò sia   un elemento di  , e   il filtro principale generato da  . Allora, per ogni sottoinsieme   di  , se  , allora  . Se invece  , per la definizione di insieme complemento,   e quindi  .

In base a ciò, e senza perdita di generalità, l'ultrafiltro può anche intendersi come un filtro massimale su un'algebra di Boole.

Il filtro cofinito, cioè l'insieme   dei sottoinsiemi cofiniti di  , non è un ultrafiltro. Infatti sia   un sottoinsieme cofinito, ossia che contiene tutti gli elementi di   tranne un numero finito. Se   è finito,   non è un filtro proprio: infatti l'insieme   ottenuto togliendo un elemento all'insieme di partenza è cofinito, e dunque sta in  , ma contiene   e dunque non è un filtro proprio. Se invece   è infinito,   tale che sia   che   sono infiniti, e dunque né l'uno né l'altro sono in  .

Ultrafiltro limiteModifica

Ultrafiltro liberoModifica

Un ultrafiltro   su di un insieme   si definisce libero quando contiene il filtro cofinito  .

Si può dimostrare che è impossibile definire un procedimento che consenta di costruire un ultrafiltro libero.

BibliografiaModifica

  • Paolo Lipparini, Limit ultrapowers and abstract logics, in The Journal of Symbolic Logic, vol. 52, nº 2, giugno 1987, pp. 437-454.

Voci correlateModifica

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