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In teoria degli insiemi il concetto di filtro venne introdotto nel 1937 da Henri Cartan come metodo per introdurre una nozione di convergenza generalizzata per gli spazi topologici.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   un insieme. Un sottoinsieme   non vuoto dell'insieme delle parti   si dice filtro sull'insieme   se gode delle seguenti proprietà:

  1. è chiuso verso l'alto rispetto all'inclusione, cioè:  
  2. è chiuso rispetto all'intersezione, cioè:  

EsempioModifica

  • Sia   un insieme e   un elemento di   La famiglia di insiemi   è un filtro.

StoriaModifica

Il concetto di filtro venne introdotto nel 1937 da Henri Cartan come metodo per introdurre una nozione di convergenza generalizzata per gli spazi topologici. Un'altra possibile tecnica per realizzare lo stesso scopo è l'uso delle reti, introdotte precedentemente da Moore e Smith. Il concetto di filtro è stato utilizzato da Kenneth Arrow nella dimostrazione del suo teorema sull'impossibilità matematica di attuare la democrazia rappresentativa perfetta[senza fonte][1], da Abraham Robinson per la sua Analisi non standard, e da Amartya Sen per estendere il teorema di Arrow all'impossibilità dello stato di diritto perfetto. Sia Arrow che Sen, per i loro risultati, hanno ricevuto il Premio Nobel per l'economia.

Filtro proprioModifica

Si definisce filtro proprio   un filtro su un insieme   tale per cui esiste almeno un elemento di   che non appartiene ad  , in simboli:

 

Un semplice teorema ci dice che

Un filtro è proprio se e solo se a esso non appartiene l'insieme vuoto  

Se infatti  , poiché per definizione l'insieme vuoto è contenuto in ogni sottoinsieme di   allora per la proprietà 1 ogni sottoinsieme   di   appartiene a  . Viceversa, se esiste un elemento   di   che non appartiene a  , visto che  , sempre per la proprietà 1 l'insieme vuoto non può appartenere a  , altrimenti avremmo  

Filtro generato da una famiglia di sottoinsiemiModifica

Sia   un insieme e sia   una famiglia di sottoinsiemi di  , allora si dice filtro generato da   su   :

  con  

Esso è un filtro poiché segue dal fatto che l'intersezione tra due filtri sullo stesso insieme   è un filtro sull'insieme  , inoltre è il più piccolo filtro contenente  .

Si dimostra inoltre che  

Filtro principale su AModifica

Un filtro   su   si definisce principale se   con   e  

Un filtro   proprio è principale su   se e solo se ha la proprietà che l'intersezione di tutti i suoi elementi non è l'insieme vuoto, ossia:  

Ad esempio, per un insieme non vuoto   l'insieme dei sottoinsiemi di   che contengono l'elemento   è un filtro principale.

Filtro cofinitoModifica

Dato un insieme infinito   il filtro   che contiene tutti i sottoinsiemi   di   tali che l'insieme differenza   sia finito è detto filtro cofinito o di Fréchet. In simboli:

 

NoteModifica

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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