In matematica, un semigruppo C0 è una generalizzazione della funzione esponenziale. Analogamente alle funzioni esponenziali, che forniscono soluzioni di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti in , i semigruppi C0 forniscono soluzioni di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti in spazi di Banach generici. Questo tipo di equazioni compare ad esempio nello studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali.

Definizione

modifica

Un semigruppo C0 su uno spazio di Banach   è una mappa   (l'insieme degli operatori lineari continui da   in  ) tale che

  1.  ,   (operatore identità su  )
  2.  
  3.  , as  .

Le prime due condizioni sono di natura algebrica e affermano che   è una rappresentazione del semigruppo  ; l'ultima è topologica ed è equivalente ad affermare che   è continua nella topologia operatoriale forte.

Generatore infinitesimale

modifica

Il generatore infinitesimale A di un semigruppo C0 T è definito come

 

dove esiste il limite. Il dominio di A, D(A), è l'insieme delle x∈X per le quali questo limite esiste; D(A) è un sottospazio lineare e A è lineare sul dominio.[1] L'operatore A è chiuso, ma non necessariamente limitato, e il dominio è denso in X.[2]

Il semigruppo C0 T con generatore A è spesso indicato con il simbolo eAt.

Semigruppo C0 uniformemente continuo

modifica

Un semigruppo C0 uniformemente continuo è un semigruppo C0 T tale che vale

 .

In questo caso, il generatore infinitesimale A di T è limitato e abbiamo

 

e

 

Al contrario, ogni operatore limitato

 

è il generatore infinitesimale di un semigruppo C0 uniformemente continuo dato da

 .

Un operatore lineare A è quindi il generatore infinitesimale di un semigruppo C0 uniformemente continuo se e solo se A è un operatore lineare limitato.[3] Se X è uno spazio di Banach finito-dimensionale, allora ogni semigruppo C0 è uniformemente continuo. Per un semigruppo C0 non uniformemente continuo il generatore infinitesimale non è limitato. In questo caso   potrebbe non convergere.

Problema di Cauchy astratto

modifica

Si consideri il problema di Cauchy astratto

 

dove A è un operatore chiuso su uno spazio di Banach X e x∈X. Sono possibili due definizioni di soluzione del problema:

  • una funzione differenziabile con continuità u:[0,∞)→X è detta una soluzione classica del problema di Cauchy se u(t) ∈ D(A) per ogni t > 0 e soddisfa la condizione iniziale,
  • una funzione continua u:[0,∞) → X è detta una soluzione debole del problema di Cauchy se
 

Ogni soluzione classica è anche soluzione debole. Una soluzione debole è una soluzione classica se e solo se è differenziabile con continuità.[4]

Il seguente teorema collega i semigruppi C0 con i problemi di Cauchy astratti.

Teorema[5] Sia A un operatore chiuso su uno spazio di Banach X. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  1. per ogni x∈X esiste un'unica soluzione debole del problema di Cauchy astratto,
  2. l'operatore A genera un semigruppo C0,
  3. l'insieme risolvente di A è non vuoto e per ogni xD(A) esiste un'unica soluzione classica del problema di Cauchy.

Quando valgono le precedenti affermazioni, la soluzione del problema di Cauchy è data da u(t) = T(t)x dove T è il semigruppo C0 generato da A.

Teoremi di generazione dei semigruppi C0

modifica

Analogamente allo studio dei problemi di Cauchy, di solito l'operatore lineare A è dato e la domanda è se questo generi o meno un semigruppo C0. I teoremi che rispondo a questa domanda sono detti teoremi di generazione. Una caratterizzazione completa degli operatori che generano un semigruppo C0 è data dal Teorema di Hille-Yosida. Di maggiore importanza pratica sono le condizioni (molto più facili da verificare) del Teorema di Lumer-Phillips.

Stabilità

modifica

Stabilità esponenziale

modifica

Il growth bound di un semigruppo T è la costante

 

E' così chiamata in quanto è anche il limite inferiore dell'insieme dei numeri reali ω tali che esiste una costante M (≥ 1) con

 

per ogni t ≥ 0.

Le seguenti asserzioni sono equivalenti:[6]

  1. Esistono M,ω>0 tali che per ogni t ≥ 0:  
  2. Il growth bound è negativo: ω0 < 0,
  3. Il semigruppo converge a 0 nella topologia operatoriale uniforme:  ,
  4. Esiste t0 > 0 tale che  ,
  5. Esiste t1 > 0 tale che il raggio spettrale di T(t1) è strettamente minore di 1,
  6. Esiste p ∈ [1, ∞) tale che per ogni x∈X:  ,
  7. Per ogni p ∈ [1, ∞) e ogni x ∈ X:  

Un semigruppo che soddisfa queste condizioni equivalenti è detto esponenzialmente stabile o uniformemente stabile (in letteratura una qualsiasi tra le prime tre condizioni viene presa come definizione). Il fatto che le condizioni Lp sono equivalenti alla stabilità esponenziale è il teorema di Datko-Pazy.

Nel caso in cui X è uno spazio di Hilbert un'altra condizione in termini dell'operatore risolvente del generatore è equivalente alla stabilità esponenziale :[7] ogni λ con parte reale positiva appartiene all'insieme risolvente di A e l'operatore risolvente è uniformemente limitato sul semipiano destro, i.e. (λI − A)−1 appartiene allo spazio di Hardy   (teorema di Gearhart-Pruss).

Lo spectral bound di un operatore A è la costante

 ,

con la convenzione che s(A) = −∞ se lo spettro di A è vuoto.

Il growth bound di un semigruppo e lo spectral bound del suo generatore soddisfano la seguente relazione:[8] s(A)≤ω0(T). The growth bound of a semigroup and the spectral bound of its generator are related by:[9] s(A)≤ω0(T). Ci sono esempi[10] in cui s(A) < ω0(T). La condizione s(A) = ω0(T) è detta spectral determined growth condition.

Stabilità asintotica

modifica

Un semigruppo C0 T è detto asintoticamente stabile se per ogni x ∈ X:  .

La stabilità esponenziale implica la stabilità asintotica, ma l'inverso non è generalmente vero se X è finito-dimensionale (è vero per X finito-dimensionale).

Le seguenti condizioni sufficienti per la stabilità esponenziale sono contenute nel teorema di Arendt-Batty-Lyubich-Phong:[11] assumiamo che

  1. T è limitato: esiste M ≥ 1 tale che  ,
  2. A non ha spettro residuo sull'asse immaginario, e
  3. Lo spettro di A contenuto nell'asse immaginario è numerabile.

Allora T è asintoticamente stabile.

Voci correlate

modifica
  1. ^ Partington (2004) page 23
  2. ^ Partington (2004) page 24
  3. ^ Pazy, A. "Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations",p. 2. Springer,-Verlag, New York, 1983.
  4. ^ Arendt et al. Proposition 3.1.2
  5. ^ Arendt et al. Theorem 3.1.12
  6. ^ Engel and Nagel Section V.1.b
  7. ^ Engel and Nagel Theorem V.1.11
  8. ^ Engel and Nagel Proposition IV2.2
  9. ^ Engel and Nagel Proposition IV2.2
  10. ^ Engel and Nagel Section IV.2.7, Luo et al. Example 3.6
  11. ^ Arendt and Batty, Lyubich and Phong

Bibliografia

modifica
  • E Hille, R S Phillips: Functional Analysis and Semi-Groups. American Mathematical Society, 1975.
  • R F Curtain, H J Zwart: An introduction to infinite dimensional linear systems theory. Springer Verlag, 1995.
  • E.B. Davies: One-parameter semigroups (L.M.S. monographs), Academic Press, 1980, Template:Isbn.
  • One-parameter semigroups for linear evolution equations, Springer, 2000.
  • Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhauser, 2001.
  • Well-posed linear systems, Cambridge University Press, 2005.
  • Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer, 1999.
  • Tauberian theorems and stability of one-parameter semigroups, Transactions of the American mathematical society, 1988.
  • Asymptotic stability of linear differential equations in Banach spaces, Studia Mathematica, 1988.
  • Jonathan R. Partington, Linear operators and linear systems, n. 60, Cambridge University Press, 2004.


Category:Analisi funzionale