Di seguito, una lista delle equazioni che descrivono il mondo in cui viviamo:
F
=
m
a
{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
(Secondo principio della dinamica )
∇
2
ϕ
=
4
π
G
ρ
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho }
( Equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale )
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
,
t
⟩
=
H
^
|
ψ
,
t
⟩
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi ,t\rangle ={\hat {H}}|\psi ,t\rangle }
(Equazione di Schrödinger )
(
◻
−
μ
2
)
ϕ
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\Bigl (}\Box -\mu ^{2}{\Bigr )}\phi (x)=0}
(Equazione di Klein-Gordon )
(
i
γ
μ
∂
μ
−
μ
)
ψ
(
x
)
=
0
{\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-\mu )\psi (x)=0}
(Equazione di Dirac )
∂
μ
F
μ
ν
=
−
μ
0
j
ν
{\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }}
(Equazioni di Maxwell non-omogenee )
(
◻
−
μ
2
)
A
μ
(
x
)
=
−
μ
0
j
μ
{\displaystyle {\Bigl (}\Box -\mu ^{2}{\Bigr )}A^{\mu }(x)=-\mu _{0}j^{\mu }}
(Equazione di Proca )
R
μ
ν
−
1
2
g
μ
ν
R
+
Λ
g
μ
ν
=
8
π
G
c
4
T
μ
ν
{\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}
(Equazioni di campo di Einstein )
∂
L
∂
φ
i
−
1
−
g
∂
μ
(
−
g
∂
L
∂
(
∂
μ
φ
i
)
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}-{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\,\partial _{\mu }{\Biggl (}{\sqrt {-g}}\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}{\Biggl )}=0}
(Equazioni di Eulero-Lagrange in Relatività Generale)
L
N
e
w
t
o
n
=
−
1
8
π
G
(
∇
→
ϕ
)
2
−
ρ
ϕ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{Newton}=-{\frac {1}{8\pi G}}({\vec {\nabla }}\phi )^{2}-\rho \phi }
(Lagrangiana per l'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale)
L
S
c
h
r
o
¨
d
i
n
g
e
r
=
ψ
†
(
i
ℏ
∂
∂
t
+
ℏ
2
2
m
∇
2
−
V
)
ψ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{Schr{\ddot {o}}dinger}=\psi ^{\dagger }{\Bigl (}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}-V{\Bigr )}\psi }
(Lagrangiana per l'equazione di Schrödinger)
L
K
l
e
i
n
−
G
o
r
d
o
n
=
−
1
2
(
∂
μ
ϕ
)
(
∂
μ
ϕ
)
−
1
2
μ
2
ϕ
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{Klein-Gordon}=-{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi )(\partial _{\mu }\phi )-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{2}}
(Lagrangiana di Klein-Gordon )
L
D
i
r
a
c
=
ℏ
c
ψ
¯
(
i
γ
μ
∂
μ
−
μ
)
ψ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{Dirac}=\hbar c{\bar {\psi }}{\Bigl (}i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-\mu {\Bigr )}\psi }
(Lagrangiana di Dirac)
L
e
m
=
−
1
4
μ
0
F
μ
ν
F
μ
ν
+
j
μ
A
μ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{em}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+j^{\mu }A_{\mu }}
(Lagrangiana dell'elettrodinamica quantistica )
L
P
r
o
c
a
=
−
1
4
μ
0
F
μ
ν
F
μ
ν
−
1
2
μ
0
μ
2
A
μ
A
μ
+
j
μ
A
μ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{Proca}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\mu ^{2}A^{\mu }A_{\mu }+j^{\mu }A_{\mu }}
(Lagrangiana di Proca )
L
g
=
c
4
16
π
G
(
R
−
2
Λ
)
+
L
m
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{g}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}(R-2\Lambda )+{\mathcal {L}}_{m}}
(Lagrangiana gravitazionale )
Ho usato le seguenti convenzioni: