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Equazione di campo di Einstein

equazione fondamentale della teoria gravitazionale della relatività generale

L'equazione di campo di Einstein è l'equazione fondamentale della teoria della relatività generale. Essa descrive la curvatura dello spaziotempo in funzione della densità di materia, dell'energia e della pressione, rappresentate tramite il tensore stress-energia.[1]

L'equazione è stata al centro di una polemica di priorità tra Einstein e il matematico David Hilbert, risolta dopo parecchio tempo a favore di Einstein.[2]

Indice

EquazioneModifica

L'equazione di campo originale è

 

Ma successivamente Einstein la modificò aggiungendo la costante cosmologica in modo da ottenere un modello di universo statico. Nella forma con la costante cosmologica, l'equazione di campo è

 

dove:

Il tensore   descrive la metrica dello spazio-tempo ed è un tensore simmetrico 4x4, che quindi ha 10 componenti indipendenti; date le identità di Bianchi, le equazioni indipendenti si riducono a 6. Definendo il tensore di Einstein   come segue :

 

possiamo riscrivere l'equazione di campo come

 

Altre equazioni di campoModifica

L'equazione di campo indicata da Einstein non è l'unica possibile, ma si distingue per la semplicità dell'accoppiamento tra materia/energia e curvatura.

I modelli di universo in cui è presente una costante cosmologica sono generalizzazioni del modello precedente, la cui metrica è detta di Friedmann - Lemaître - Robertson - Walker, o FLRW. L'assunto che l'universo sia isotropo ed omogeneo a grande scala è noto come principio cosmologico.

Contrazione o espansione dell'universoModifica

Il termine   venne introdotto ad hoc da Einstein per permettere un universo statico, in quanto la sua teoria prevedeva un universo dinamico (o in contrazione o in espansione), inconcepibile per quei tempi. Nei dieci anni successivi le osservazioni di Edwin Hubble confermarono l'espansione dell'universo e il termine   venne omesso (lo stesso Einstein ne giudicò l'introduzione il suo più grande errore[3]). Sembra però che Einstein fosse "condannato" ad avere in qualche modo ragione in quanto la costante cosmologica si è riaffermata nel 1998 con l'osservazione di un universo in accelerazione, cha ha spinto gli astronomi a introdurre l'idea di una costante cosmologica positiva.[4][5] Come quella individuata da Einstein, anche la versione aggiornata svolge il ruolo di forza antigravitazionale su larga scala, ora rappresentata dall'energia oscura.

Trascurando temporaneamente la costante cosmologica   e utilizzando unità di misura per cui c sia pari ad uno, se supponiamo che l'universo a grande scala sia isotropo ed omogeneo, è possibile ridurre l'equazione tensoriale all'equazione differenziale:

 

dove   è il fattore di scala (che se l'universo è chiuso ne rappresenta il raggio),   la sua velocità di variazione,   la densità media dell'universo e   la curvatura (positiva, negativa o nulla). Risulta dunque facile, ponendo  , calcolare quella che viene definita la "densità critica" dell'universo, che risulta:

 

dove si è fatto utilizzo della relazione   che lega il parametro di Hubble al fattore di scala. Naturalmente la debolezza di questa formula è che le condizioni non autorizzano a considerare  . Se la curvatura dell'universo è maggiore di 0 esso si ricontrarrà, se pari o inferiore si espanderà per sempre. In questo tipo di universo la distanza tra due punti è data dalla metrica di Robertson - Walker. Sempre con  , l'equazione , che assume la forma

 

può essere risolta ponendo  , e ha come soluzione :

 

dove   è una costante. Questa soluzione ci dice che, per un universo spazialmente piatto e con costante cosmologica nulla, il fattore di scala è proporzionale al tempo alla due terzi  .

Reintroducendo la costante cosmologica come una forma di energia, essa si comporta a tutti gli effetti come una densità di energia negativa che permea tutto lo spazio; di conseguenza è possibile riconsiderare la densità critica come somma di due quantità: una rappresentata dalla materia, osservabile e oscura, e l'altra dall'energia oscura. Infatti in tal caso l'equazione diventa

 

Dove   è la densità della materia e   la densità di energia associata alla costante cosmologica definita come  , che ha proprio le dimensioni di una densità energetica.

Dal momento che le attuali osservazioni, in particolare misurazioni della radiazione cosmica di fondo effettuate dal satellite WMAP, indicano che l'universo è molto vicino a una curvatura nulla, la densità dell'universo dovrebbe essere molto vicina al valore critico che ne determinerebbe una geometria piatta. Al contrario la densità di energia della materia globalmente rilevabile è stimata essere soltanto il 30% circa di tale valore e la costante cosmologica sotto forma di energia oscura, qualora dimostrata e quantificata, dovrebbe permettere di colmare tale differenza e prevedere di conseguenza il destino ultimo dell'universo. Trovare pertanto conferme della sua esistenza, identificarne la natura e quantificarla con esattezza sono importanti campi d'indagine per la cosmologia.

Soluzioni delle equazioni di campoModifica

Le soluzioni particolari dell'equazione di campo hanno dato origine ai vari modelli cosmologici, tra le quali:

  • l'universo di de Sitter, che postulava un universo vuoto, in cui le forze gravitazionali fossero trascurabili.
  • il modello di Friedmann, direttamente legato alla densità di materia presente nell'universo ed ancora oggi il modello comunemente accettato.
  • la soluzione di Lemaitre, una prima rozza formulazione della teoria del Big Bang, in cui le galassie sono frammenti eiettati dall'esplosione di un "atomo primordiale" da cui ha avuto origine l'universo.

NoteModifica

  1. ^ Charles W. Misner, Kip S. Thorne e John Archibald Wheeler, Gravitation, San Francisco, W. H. Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0. Chapter 34, p. 916.
  2. ^ L. Corry, J. Renn, J. Stachel, Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute, Science n. 278, 14 novembre 1997
  3. ^ George Gamow, My World Line : An Informal Autobiography, Viking Adult, 28 aprile 1970, ISBN 0-670-50376-2. URL consultato il 14 marzo 2007.
  4. ^ Nicolle Wahl, Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?, 22 novembre 2005. URL consultato il 14 marzo 2007 (archiviato dall'url originale il 7 marzo 2007).
  5. ^ Michael S. Turner, Making Sense of the New Cosmology, in Int.J.Mod.Phys. A17S1, vol. 17, maggio 2001, pp. 180–196, Bibcode:2002IJMPA..17S.180T, DOI:10.1142/S0217751X02013113, arXiv:astro-ph/0202008.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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