Distribuzione beta-binomiale

(Reindirizzamento da Variabile casuale betabinomiale)

In teoria delle probabilità la distribuzione beta-binomiale è una famiglia di distribuzioni di probabilità discrete che può essere vista come generalizzazione della distribuzione binomiale e della distribuzione Beta. Descrive la distribuzione del numero di successi su esperimenti indipendenti di tipo sì/no, ma, contrariamente alla distribuzione Binomiale, la probabilità di successo non è un parametro noto, ma è un valore incerto distribuito come una variabile casuale Beta Si tratta infatti di una mistura di binomiali in cui il parametro ha distribuzione Beta.

La distribuzione beta-binomiale dipende da tre parametri:

Definizione modifica

Se   è una variabile casuale distribuita come una variabile casuale beta-binomiale con i parametri       allora per  

 

dove la costante   è data da

 

e   è la funzione gamma.

Un modo alternativo per descrivere la   è dato da

 

dove   è la funzione beta di Eulero.

Caratteristiche modifica

Il valore atteso dipende da tutti e tre i parametri

 

così come pure la varianza

 

L'asimmetria viene indicata con

 

Utilizzando la notazione   il valore atteso e la varianza possono essere descritti in una forma che ricorda quella della variabile casuale binomiale:

 
 

Dalle precedenti si nota che a parità di valore atteso (ed  ) la variabile casuale beta-binomiale ha sempre una varianza maggiore della variabile casuale binomiale.

L'asimmetria viene indicata con

 

Anche in questo caso diventa evidente come l'asimmetria della beta-binomiale sia sempre maggiore dell'asimmetria della binomiale, a parità valore atteso (ed  ).

Casi particolari modifica

Nel caso che   e   allora si tratta di una variabile casuale uniforme discreta con   essendoci   valori possibili.

Ambiti di applicazione modifica

La variabile casuale beta-binomiale è idonea a descrivere fenomeni solitamente descritti dalla variabile casuale binomiale, qualora però la probabilità di successo nella singola prova sia incerta, perché inferita dai dati passati.

Un possibile caso è quello di prevedere in senso probabilistico quante lampadine si fulminano entro 1 anno dall'installazione sapendo che la probabilità che si fulminino non è uguale per tutte, ma è descritta da una variabile casuale Beta.

Analogamente, qualora ci si trovi di fronte ad un modello che dovrebbe essere descritto da una variabile casuale binomiale, ma dove i dati mostrano una distribuzione molto "larga", allora si può sospettare che la probabilità degli eventi non sia costante, ma vari attorno ad un valore come nel modello beta-binomiale.

Esempi modifica

Probabilità di estrarre X palline rosse da un'urna della quale si conosce solo approssimativamente la composizione modifica

Un modello modifica

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana, da un'urna della quale si ignora il numero di palline presenti ma che da estrazioni precedenti risulta che vi siano una percentuale di palline rosse che varia come una variabile casuale   dovranno essere estratte (e ogni volta reinserite)   palline. Ci si chiede quale sia la probabilità che   di queste siano rosse. La risposta sta nella variabile casuale  

Esempio numerico modifica

Partendo da un concetto di completa ignoranza che ci porta a descrivere la distribuzione a priori come una variabile casuale uniforme continua e dunque come una   vengono estratte 15 palline, delle quali solo una è rossa. In questo modo la probabilità a posteriori diventa una variabile casuale  

A questo punto si decide di fare un'ulteriore estrazione di 40 palline e ci si chiede quale sia la probabilità che esattamente due di queste siano rosse.

Essendo in questa seconda estrazione la probabilità   quella di una variabile casuale   si ottiene che

 

dove

 

ed essendo   e inoltre essendo in generale   e pertanto

 
 
 
 
 
 

si ottiene

 
 
 
 
Le due variabili casuali usate nell'esempio

Questo risultato è diverso da quello che si sarebbe ottenuto utilizzando come probabilità di successo la stima puntuale, vale a dire la semplice proporzione ottenuta nella prima serie di estrazioni (1/15 = 6,67%) e applicando per la seconda la variabile casuale binomiale   In questo caso si sarebbe ottenuto  

Il grafico mette in evidenza il fatto che la variabile casuale   è molto più "stretta" della   ciò è dovuto al fatto che nell'approccio bayesiano non ci si "dimentica" che vi è un'incertezza su quale sia la vera proporzione di palline rosse e questa incertezza rende probabili anche valori più "distanti".

Scelta bayesiana tra due modelli: Estrazione da un'urna, determinare a quale urna nota corrisponda un'urna modifica

  • Di un'urna si sa che una percentuale ignota di palline sono rosse.
  • Si sa che l'urna è o l'urna   oppure l'urna  
  • Dall'urna   sono state estratte in passato 10 palline, delle quali 2 rosse (dunque il 20%).
  • Mentre dall'urna   in passato su 15 palline estratte 10 erano rosse (pari al 67%).
  • Nulla fa pensare che l'urna in questione sia l'urna   piuttosto che l'urna  
  • Né dell'urna   né dell'urna B si conosce il numero complessivo di palline.
  • Dall'urna in questione vengono estratte 50 palline, delle quali 12 sono rosse (il 24%).

Domande

  • qual è la probabilità che l'urna in questione sia l'urna  ?
  • qual è la distribuzione a posteriori della percentuale di palline rosse?
  • qual è la probabilità che dall'urna in questione alla prossima estrazione di 10 palline, neanche una volta esca una rossa?

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si può dire pertanto che:

  • la probabilità a priori che l'urna in questione sia l'urna   è pari a   e di conseguenza  
  • per l'urna   grazie all'estrazione di 10 palline, delle quali 2 rosse, la distribuzione a posteriori della percentuale di palline rosse è una variabile casuale Beta  , nel caso che la distribuzione a priori sia una rettangolare, equivalente ad una  
  • analogamente per l'urna   la distribuzione a posteriori è una  

Per procedere è necessario fare ricorso alla variabile casuale beta-binomiale, infatti sapendo che su 50 palline estratte 12 sono rosse, si può calcolare la probabilità   che si tratti dell'urna   nel seguente modo:

 

che grazie al fatto che   si semplifica ottenendo:

 

Tenuto conto dei valori dell'esempio, si calcola

 
 
 

Ciò vuol dire che la probabilità che l'urna in questione sia l'urna   è del 98,4%. Questo risultato è comprensibile, visto che il 24% dell'urna ignota è molto più prossimo al 20% dell'urna   che non al 67% dell'urna  

Tenuto conto delle prime due estrazioni (quando le urne erano note) e l'estrazione dall'urna della quale si era perso il nome, e del fatto che al 98,4% l'urna in questione è l'urna   ma che c'è pur sempre una probabilità dell'1,6% che si tratti dell'urna   la percentuale di palline rosse in questa urna della quale non si sa quale delle due sia viene descritta dalla mistura delle due variabili casuali   (con  ) ponderate con le probabilità  

Una volta nota tale mistura di variabili casuali è possibile calcolare la probabilità che alla prossima estrazione di 10 palline neanche una sia rossa. Par fare ciò è necessario fare ricorso a tecniche di calcolo numerico.

Bibliografia modifica

  • (DE) Leonhard Held, Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, con la collaborazione di Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2
  • (EN) Jim Albert, Bayesian Computation With R, Springer New York, 2009, ISBN 978-0-387-92297-3 [1][collegamento interrotto]

Collegamenti esterni modifica