Distribuzione Beta

(Reindirizzamento da Variabile casuale Beta)

In teoria delle probabilità e in statistica, la distribuzione (Beta) è una distribuzione di probabilità continua definita da due parametri e sull'intervallo unitario .

Distribuzione
Funzione di densità di probabilità
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri
Supporto
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
(funzione Beta incompleta regolarizzata)
Valore atteso
Moda se


se e
se e

Varianza
Indice di asimmetria
Funzione generatrice dei momenti
Funzione caratteristica

Questa distribuzione nasce in modo molto naturale nella inferenza bayesiana, perché governa la probabilità di un processo di Bernoulli a posteriori dell'osservazione di "successi" e "fallimenti", quando è a priori distribuita uniformemente tra e .

Definizione modifica

La distribuzione Beta di parametri   (entrambi positivi) è definita sull'intervallo   con funzione di densità di probabilità

 .

In altri termini la funzione di densità di probabilità è proporzionale alla funzione

 ,

riscalata per un fattore dato dalla funzione Beta

 ;

in questo modo ha probabilità totale  .

La sua funzione di ripartizione è la funzione Beta incompleta regolarizzata

 .

Caratteristiche modifica

I momenti semplici di una variabile aleatoria   con distribuzione Beta di parametri   sono

 ,

dove   indica il fattoriale crescente con k fattori,  . (L'ultima uguaglianza può essere dedotta dall'espressione della funzione Beta attraverso la funzione Gamma,   e dalla proprietà  .)

I momenti semplici soddisfano quindi la relazione ricorsiva

 .

In particolare, la distribuzione ha:

  • valore atteso  ;
  • varianza  ;
  • indice di asimmetria  ;
  • indice di curtosi  .

Invertendo le relazioni qui sopra, che forniscono il valore atteso e la varianza in funzione dei parametri   e  , possiamo esprimere univocamente i suddetti parametri in termini del valore atteso e della varianza:

 ;
 .

Queste formule vengono applicate nel metodo dei momenti, con la media e la varianza osservate su un campione.

L'entropia è

 ,

dove   è la funzione digamma.

La moda della distribuzione dipende dai segni di   e  , ed è unica solo se almeno uno dei due è positivo:

se   e   allora la moda è  ;
se   (o  ) e   allora la moda è 1;
se   (o  ) e   allora la moda è 0.

(La funzione di densità di probabilità ha un asintoto in 0 se  , in 1 se  .)

Relazioni con altre distribuzioni modifica

Una distribuzione Beta può essere definita su un qualunque intervallo  , costruendo una nuova variabile casuale  .

Se   segue la distribuzione Beta di parametri   allora   segue la distribuzione Beta di parametri  .

  • La distribuzione di Dirichlet è una generalizzazione della distribuzione Beta: essa descrive la distribuzione a posteriori dei parametri di una distribuzione multinomiale a posteriori, appunto, di un'osservazione. La distribuzione di Dirichlet con due parametri è esattamente la distribuzione Beta.
  • Per   la densità di probabilità del tipo Beta   è, in termini geometrici, la metà superiore di una circonferenza:  , descrive un semicerchio. La variabile aleatoria   segue una distribuzione di Wigner di parametro r.
  • Se   e   sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni Gamma di rispettivi parametri   e  , allora la variabile aleatoria   segue la distribuzione Beta di parametri  .
  • Se la variabile aleatoria   segue la distribuzione Beta di parametri   allora la variabile aleatoria   è descritta dalla distribuzione Beta del secondo tipo, che ha funzione di densità di probabilità
 
  • La distribuzione di Wilks   può essere interpretata come la distribuzione che governa il prodotto   di n variabili aleatorie indipendenti   con rispettivi parametri  .
  • Se   è una variabile aleatoria con distribuzione di Kumaraswamy di parametri   allora   segue la distribuzione Beta di parametri  .

Inferenza bayesiana modifica

La distribuzione Beta e il processo di Bernoulli modifica

E' immediato dimostrare che, se X è distribuita come una v.c. binomiale con parametri n e π

 

e il parametro π è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

 

allora il parametro π è distribuito a posteriori, anch'esso, come una v.c. Beta, ma con parametri a+x e b+n-x

 

Come detto in precedenza, qualora il parametro π sia distribuito a priori come una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di π equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori del parametro π è una Beta con parametri x+1 e n-x+1

 

essa ha come valore modale p

 , che corrisponde alla stima usata in ambito frequentistico, mentre il valore atteso o media, è
 , che per x<n/2 è maggiore del valore modale  . Il valore atteso minimizza lo scarto quadratico.

Infatti, la probabilità di ottenere   successi e   fallimenti in un processo di Bernoulli di parametro p è  , proporzionale alla densità   della distribuzione Beta di parametri  .

Pertanto, come detto sopra, se la variabile aleatoria   segue una distribuzione binomiale   con parametro aleatorio P distribuito a priori uniformemente sull'intervallo unitario  , a posteriori dell'osservazione   il parametro P segue la distribuzione  .

Più in generale, se   è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale   e il parametro P segue a priori la distribuzione  , allora a posteriori dell'osservazione   il parametro P segue la distribuzione  .

Il caso della distribuzione uniforme a priori è un caso particolare di quest'ultimo, essendo  .

Priori coniugate e la v.c. binomiale negativa modifica

Se X è distribuita come una v.c. binomiale negativa con parametri m e θ

 

e il parametro θ è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

 

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+m e b+x

 

Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di θ equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri m+1 e x+1

che ha come valore modale t

t=m/(m+x)

Similmente, se la variabile aleatoria   segue la distribuzione di Pascal   e P segue a priori la distribuzione  , allora a posteriori dell'osservazione   il parametro P segue la distribuzione  .

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