Distribuzione di Dirichlet
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In teoria della probabilità la distribuzione di Dirichlet, spesso denotata con , è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da un vettore di numeri reali positivi , che generalizza la variabile casuale Beta nel caso multivariato. Prende il nome dal matematico tedesco Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Ha come funzione di densità di probabilità
dove e sono numeri reali positivi tali che
Il suo valore atteso è
la moda è
mentre la varianza è
Inoltre, per ogni coppia con , si ha che la covarianza è
TeoremiModifica
La distribuzione Beta come caso particolareModifica
Se k=2, , allora è distribuita come una variabile casuale Beta
La distribuzione di Dirichlet come prior coniugate della v.c.MultinomialeModifica
Nell'ambito dell'inferenza bayesiana la variabile casuale di Dirichlet è una prior coniugate della variabile casuale multinomiale in quanto se si applica alla
una distribuzione a priori delle θ corrispondente ad una variabile casuale di Dirichlet
allora la distribuzione a posteriori delle θ è anch'essa una variabile casuale di Dirichlet, ma con i parametri incrementati dai valori osservati
Questo teorema può essere visto come una generalizzazione multivariata dell'equivalente teorema univariato, che coinvolge variabile casuale binomiale al posto della multinomiale e la variabile casuale Beta al posto della Dirichlet.
Dalla Gamma (Erlang B) alla DirichletModifica
Se si hanno k indipendenti variabili casuali distribuite ciascuna come una variabile casuale Gamma con un parametro comune a tutti e unitario e un parametro individualizzato (si tratta dunque di variabili casuali dette Erlang B, ciascuna con il proprio parametro)
definendo la loro somma come
allora si ha che
Altri progettiModifica
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Collegamenti esterniModifica
- SciencesPo: pacchetto R che contiene funzioni per la simulazione di parametri della distribuzione Dirichlet.