Algebra supercommutativa

In matematica e in fisica teorica un'algebra supercommutativa è una superalgebra (cioè una algebra -graduata) in cui vale una proprietà di commutazione che dipende dalla gradazione degli elementi.

Definizione

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Una superalgebra  è un'algebra supercommutativa se per ogni coppia   di elementi omogenei si ha:

 

dove con   e   si indicano le gradazioni rispettivamente di   e   In maniera equivalente, si tratta di una superalgebra in cui il supercommutatore

 

è sempre nullo.

La gradazione   vale 0 per gli operatori bosonici chiamati anche elementi pari, vale invece 1 per gli operatori fermionici chiamati anche elementi dispari[1].

Ogni algebra commutativa (ossia ogni algebra degli operatori bosonici) è un'algebra supercommutativa se ha la gradazione banale (cioè se tutti gli elementi sono pari). Le algebre di Grassmann sono i più comuni esempi di algebre supercommutative banali. Il supercentro di qualsiasi superalgebra[2] è l'insieme di elementi che supercommutano con tutti gli elementi, ed è un'algebra supercommutativa[3].

Bibliografia

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  • Bourbaki, Nicolas (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
  • (EN) D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
  • (EN) V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate

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