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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando la somma diretta tra due gruppi in notazione additiva, vedi Prodotto diretto.

In algebra lineare, la somma diretta è una costruzione tra moduli che restituisce un modulo più grande. Ad esempio, la somma diretta di due gruppi abeliani e è un gruppo abeliano formato da tutte le coppie ordinate con e . In particolare, il prodotto cartesiano di e è caratterizzato con una struttura di gruppo abeliano definendo la somma tra coppie ordinate come e la moltiplicazione come per intero. Costruzioni simili consentono di caratterizzare la somma diretta tra varie strutture algebriche come moduli, anelli o sottospazi vettoriali. La somma diretta può essere anche definita tra più addendi, ad esempio .

Nel caso di un numero finito di addendi la somma diretta tra gruppi abeliani è un prodotto diretto, mentre nel caso di infiniti addendi molti autori fanno una distinzione: un elemento di una somma diretta ha tutte le componenti nulle tranne che per un numero finito di esse, mentre un elemento di un prodotto diretto può avere tutte le componenti diverse da zero.

Indice

Spazi vettorialiModifica

Uno spazio vettoriale   si definisce somma diretta dei sottospazi   e   se ogni elemento   si può scrivere in maniera unica nel seguente modo:[1]

 

con   e  . La dimensione di   è inoltre pari alla somma algebrica delle dimensioni di   e  .[2]

Una condizione necessaria e sufficiente affinché i due sottospazi siano in somma diretta è che   e la loro intersezione sia il vettore nullo:

 

Questo si estende a famiglie di un qualsiasi numero di sottospazi.

Si dice inoltre che   si decompone in somma diretta di   e   e si scrive:

 

Per la formula di Grassmann, due spazi sono in somma diretta se e solo se:[3]

 

Quando due spazi non sono in somma diretta, il termine a sinistra è strettamente minore di quello a destra.

Componenti e proiezioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Proiezione (geometria).

Se   e   sono in somma diretta, ogni elemento   del sottospazio somma   si scrive unicamente come:

 

dove   e   sono elementi rispettivamente di   e  . Gli elementi   e   sono detti componenti di   lungo i due sottospazi. Grazie all'unicità di queste, è possibile definire due proiezioni:

 

semplicemente ponendo:

 

EsempiModifica

Lo spazio   delle matrici quadrate   a coefficienti in un campo   si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e antisimmetriche:

 

Le dimensioni relative dei sottospazi sono:

 

e le rispettive proiezioni sono:

 

Tali operatori di proiezione permettono di decomporre ogni matrice nella somma di una matrice simmetrica e di una antisimmetrica:

 

e inoltre:

 

mostra che la matrice   è effettivamente simmetrica (perché uguale alla sua trasposta: si verifica analogamente che   è antisimmetrica).

ModuliModifica

La somma diretta di gruppi abeliani e la somma diretta di spazi vettoriali sono casi particolari della costruzione della somma diretta tra moduli.

Sia   un anello e   una famiglia di R-moduli sinistri indicizzata dall'insieme  . La somma diretta dei moduli   è definita come l'insieme di tutte le successioni   con   e   per un sottoinsieme cofinito di indici i (cioè per tutti gli indici ad eccezione di un insieme finito). Si può anche definire come le funzioni   da   a valori nell'unione disgiunta dei moduli   tali che   per ogni   e   per un sottoinsieme cofinito di indici i.

Due successioni (o funzioni)   e   possono essere sommate scrivendo   per ogni i (tale successione è ancora nulla tranne che per un numero finito di elementi), ed una successione   può essere moltiplicata per un elemento   dell'anello   definendo   per ogni i. In questo modo la somma diretta diventa un R-modulo sinistro, denotato con:

 

Solitamente si denota la successione   anche come una somma  .

ProprietàModifica

  • La somma diretta dei moduli   è un sottomodulo del prodotto diretto dei moduli  . Il prodotto diretto è l'insieme delle funzioni   definite su   a valori nell'unione disgiunta dei moduli   tali che  , ma non si annulla necessariamente per tutti gli indici i tranne un numero finito di essi (come avviene per la somma diretta). Se   è finito somma diretta e prodotto diretto si equivalgono. Se si identifica ognuno dei moduli   con il sottomodulo della somma diretta costituito da tutte le funzioni che si annullano per tutti gli indici tranne l'i-esimo, ogni elemento   della somma diretta può essere scritto in modo unico come una somma di finiti elementi dei moduli  .
  • Le somme dirette sono commutative e associative, nel senso che l'ordine in cui sono formate è ininfluente.
  • Il gruppo degli omomorfismi R-lineari definiti dalla somma diretta a qualche R-modulo sinistro   è isomorfo in modo naturale al prodotto diretto dei gruppi di omomorfismi R-lineari definiti da   a  :
 
Quindi, vi è un omomorfismo   dal membro sinistro al membro destro della relazione:   è l'omomorfismo R-lineare che manda   (sfruttando l'inclusione naturale di   nella somma diretta). L'omomorfismo inverso di   è definito come:
 
per ogni   nella somma diretta dei moduli  . Si nota che la definizione di   ha senso in quanto   è nulla per tutti gli i tranne che un numero finito, e quindi la somma è finita. In particolare, lo spazio duale della somma diretta di spazi vettoriali è isomorfo al prodotto diretto dei duali di tali spazi.
  • La somma diretta finita di moduli è un biprodotto. Infatti, se:
 
sono le mappe di proiezione canoniche e:
 
sono le mappe di inclusione, allora:
 
è uguale al morfismo identità di  , mentre:
 
è il morfismo identità di   nel caso  , ed è la mappa nulla altrimenti.

NoteModifica

  1. ^ S. Lang, Pag. 52
  2. ^ S. Lang, Pag. 53
  3. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 46

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, 1962.
  • (EN) Rosen, K. H. (Ed.). Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Boca Raton, FL: CRC Press, 2000.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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