Centro di un gruppo

In matematica, dato un gruppo , il centro di è il sottoinsieme di costituito dagli elementi di che commutano con tutti gli elementi di (compresi quelli non appartenenti a ),[1] in formule:

Se è un gruppo abeliano, chiaramente, .

è un sottogruppo abeliano e anche un sottogruppo normale di : infatti, presi e , implica . Questa proprietà permette sempre di costruire il gruppo quoziente .

EsempiModifica

Consideriamo il gruppo   delle matrici quadrate invertibili di ordine   ad elementi reali, munite dell'usuale prodotto righe per colonne. Il centro di questo gruppo è dato dai multipli dell'unità  , cioè dalle matrici diagonali con tutti elementi uguali sulla diagonale. Nel passare al quoziente, vengono identificate le matrici   e   tali che esista un   reale per cui valga  . I multipli dell'unità vengono quindi identificati con l'elemento unità, che resta il solo a commutare con tutto il resto del gruppo, questo non impedisce che due matrici arbitrarie possano comunque commutare tra di loro.

Altri esempi:

  • Il centro del gruppo ortogonale   è dato da  .
  • Il centro del gruppo dei quaternioni   è dato da  .

NoteModifica

  1. ^ Bosch, p. 221.

BibliografiaModifica

  • Siegfried Bosch, Algebra, Springer, 2003, ISBN 978-88-470-0221-0.
  • Michael Reed e Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic Press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
  • Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
  • Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8.
  • J.S. Milne, Group theory (PDF), 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.

Voci correlateModifica

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