Trasformazione antilineare

In matematica si dice trasformazione antilineare, applicazione antilineare, funzione antilineare, mappa antilineare o operatore antilineare una trasformazione $f:V\to W$ da uno spazio vettoriale sui complessi in un secondo spazio dello stesso genere se:

$f(a\mathbf {x} +b\mathbf {y} )={\bar {a}}f(\mathbf {x} )+{\bar {b}}f(\mathbf {y} )\qquad \forall a,b\in \mathbb {C} \quad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$

dove ${\bar {a}}$ è il complesso coniugato di $a$.

Queste entità talvolta sono chiamate trasformazione coniugatolineare e trasformazione semilineare.

Se insieme alla precedente $f$ si considera una seconda trasformazione antilineare del genere $g:W\to X$ che conduce ad un terzo spazio vettoriale sui complessi $X$, la composizione di $f$ con $g$ è una trasformazione lineare complessa $g\circ f:V\rightarrow X$.

Una trasformazione antilineare $f:V\to W$ è equivalente ad una trasformazione lineare del genere ${\bar {f}}:V\to {\bar {W}}$ che conduce allo spazio vettoriale complesso coniugato ${\bar {W}}$.

Per un operatore antilineare la definizione di aggiunta è diversa da quella usuale:

$(\mathbf {x} ,f^{+}\mathbf {y} )=(f\mathbf {x} ,\mathbf {y} )^{*}=(\mathbf {y} ,f\mathbf {x} )$

in cui l'operatore risulta correttamente antilineare in $\mathbf {x}$ e $\mathbf {y}$.

Bibliografia

• (EN) Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (antilinear maps are discussed in section 4.6).
• (EN) Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Spinger-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (antilinear maps are discussed in section 3.3).

Voci correlate

• Complesso coniugato
• Forma sesquilineare