Arcocoseno

In matematica, in particolare in trigonometria, l'arcocoseno è definito come funzione inversa del coseno di un angolo. La funzione coseno non è biiettiva, quindi non invertibile. È possibile, però, applicare un restringimento del dominio e del codominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione coseno nell'intervallo $\left[0,\pi \right]$.

Notazione

La notazione matematica dell'arcocoseno è $\arccos$; è comune anche la scrittura $\cos ^{-1}$. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ACOS e ACS.

Proprietà

Grafico della funzione $y=\arccos(x)$

L'arcocoseno è una funzione continua e strettamente decrescente, definita per tutti i valori nell'intervallo $\left[-1,1\right]$:

$\arccos \colon \left[-1,1\right]\to \left[0,\pi \right].$

Il suo grafico è simmetrico rispetto al punto $\left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)$, essendo $\arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)$.

La derivata della funzione arcocoseno è:

${\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

La serie di Taylor corrispondente è:

$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{-{\frac {1}{2}} \choose k}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {3}{40}}x^{5}-{\frac {5}{112}}x^{7}-\cdots .$

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi:

$\arccos \left(-x\right)=\pi -\arccos x$.

Inoltre è possibile combinare la somma o differenza di due arcocoseni in un'espressione dove l'arcocoseno figura una volta sola:

$\arccos x_{1}+\arccos x_{2}={\begin{cases}\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}<0\end{cases}}$

$\arccos x_{1}-\arccos x_{2}={\begin{cases}-\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}\geq x_{2}\\\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}<x_{2}\end{cases}}$.

Applicazioni

In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcocoseno del rapporto fra il suo cateto adiacente e l'ipotenusa.

Bibliografia

• Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.

Voci correlate

• Coseno
• Funzione trigonometrica inversa

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Collegamenti esterni

• arcocoseno, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• arcocoséno, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• arccos, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• arcocoséno, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• arcocoséno, su sapere.it, De Agostini.
• arcocoseno, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Arcocoseno, su MathWorld, Wolfram Research.