Assiomi di Kolmogorov

Gruppo di assiomi fondamentali per la rigorosa definizione della teoria della probabilità

Gli assiomi di Kolmogorov sono una parte fondamentale della teoria della probabilità di Andrey Kolmogorov. In essi, la probabilità P di qualche evento E, indicata come , è definita in modo da soddisfare questi assiomi. Gli assiomi sono descritti di seguito.

Questi assiomi possono essere riassunti come segue: Sia (Ω, FP) uno spazio mensurale con P(Ω) = 1. Allora (Ω, FP) è lo spazio delle probabilità, con spazio campionario Ω, spazio degli eventi F e misura della probabilità P.

Un approccio alternativo alla formalizzazione della probabilità, proposto da alcuni bayesiani, è dato dal teorema di Cox .

Assiomi modifica

Primo assioma modifica

La probabilità di un evento è un numero reale non negativo:

 

dove   è lo spazio degli eventi. Segue che   è sempre finito, in contrasto con la più generale teoria della misura. Teoria che assegna probabilità negativa in relazione al primo assioma.

Secondo assioma modifica

La probabilità dell'intero spazio campione è 1 (Ipotesi della misura unitaria)

 

Terzo assioma modifica

Qualsiasi sequenza numerabile di insiemi disgiunti (sinonimo di eventi reciprocamente esclusivi)   soddisfa

 

Alcuni autori considerano unicamente spazi di probabilità puramente additivi, in tal caso è necessaria solo un'algebra di insiemi, piuttosto che una σ-algebra .

Conseguenze modifica

Dagli assiomi di Kolmogorov si possono dedurre altre regole utili per il calcolo delle probabilità.

La probabilità dell'insieme vuoto modifica

 

In alcuni casi,   non è l'unico evento con probabilità 0.

Monotonicità modifica

 

Se A è un sottoinsieme di B, o uguale a B, allora la probabilità di A è inferiore o uguale alla probabilità di B.

L'intervallo di definizione modifica

Segue immediatamente dalla proprietà di monotonicità che

 

Ulteriori conseguenze modifica

Un'altra proprietà importante è:

 

Questa è chiamata la legge addizionale della probabilità, o la regola della somma. Cioè, la probabilità che accada o A o B, è la somma delle probabilità che A accada e che B accada, meno la probabilità che accadranno sia A che B. La dimostrazione di ciò è:

In primo luogo,

  (per il terzo Assioma)

Quindi,

  (perché  ).

E,

 

sottraendo   da entrambe le equazioni otteniamo il risultato voluto.

Un'estensione della legge addizionale a qualsiasi numero di insiemi è il principio di inclusione-esclusione .

Chiamando B come complemento A c di A nella legge addizionale si ottiene

 

Cioè, la probabilità che un evento non accada (o il complemento dell'evento) è 1 meno la probabilità che accada.

Esempio semplice: lancio della moneta modifica

Prendiano in considerazione il lancio di una singola moneta e presumiamo che esca o testa (T) o croce (C) (ma non entrambe). Non ipotizza che la moneta sia bilanciata.

Possiamo definire:

 
 

Gli assiomi di Kolmogorov implicano che:

 

La probabilità di non avere testa o croce è 0.

 

La probabilità di una testa o croce, è 1.

 

La somma della probabilità delle teste e delle croci è 1.

Bibliografia modifica

Voci correlate modifica

Collegamenti esterni modifica