Complesso simpliciale

In matematica e in topologia un complesso simpliciale è un'aggregazione ordinata di simplessi, ossia un'unione di un certo numero di simplessi che si intersecano fra loro solo su facce comuni.

Questo è un complesso simpliciale.
Questo non è un complesso simpliciale: i simplessi si intersecano male.

Un complesso simpliciale definisce quindi uno spazio topologico, il quale può essere descritto da più complessi simpliciali differenti, ciascuno dei quali è detto triangolazione dello spazio. Questa descrizione combinatoria permette un calcolo agevole di molte proprietà dello spazio, come il gruppo fondamentale e soprattutto l'omologia. I complessi simpliciali sono quindi un ingrediente fondamentale della topologia algebrica.

Non tutti gli spazi topologici sono però realizzabili come complessi simpliciali.

DefinizioneModifica

Un complesso simpliciale è un insieme   di simplessi in   tali che:

  • Ogni faccia di un simplesso in   è un elemento di  .
  • L'intersezione di due simplessi è vuota o è una faccia di entrambi.
  • L'insieme   è localmente finito: ogni insieme limitato di   interseca un numero finito di elementi di  .

L'insieme   non è necessariamente finito. La sua dimensione dim  è la massima dimensione di un simplesso in  , e non può essere più grande di  .

L'unione dei simplessi è il sostegno o supporto del complesso ed è indicata con  . Come sottospazio di  , è uno spazio metrico ed uno spazio topologico.

Chiusura, stella e collegamentoModifica

Sia K un complesso simpliciale e sia S una collezione di simplessi in K.

La chiusura di S (denotata Cl S) è il più piccolo sottocomplesso simpliciale di K che contiene ciascun simplesso in S. Cl S si ottiene aggiungendo ripetutamente a S ciascuna faccia di ogni simplesso in S.

La stella di S (denotata St S) è l'insieme di tutti i simplessi in K che hanno una qualsiasi faccia in S. (Si noti che la stella stessa non è generalmente un complesso simpliciale).

Il collegamento di S (denotato Lk S) equivale a Cl St S - St Cl S. È la stella chiusa di S meno le stelle di tutte le facce di S.

TriangolazioniModifica

PolitopiModifica

Una triangolazione di un politopo   in   è un complesso simpliciale   il cui supporto è  . Ad esempio, una triangolazione di un poligono è una suddivisione di questo in triangoli.

Spazi topologiciModifica

Una triangolazione di uno spazio topologico   è un complesso simpliciale   tale che   è omeomorfo a  .

Uno spazio topologico che ammette una triangolazione è detto triangolabile. Questo è necessariamente di Hausdorff e metrizzabile. Non tutti tali spazi hanno però delle triangolazioni: esistono delle varietà topologiche in dimensione 4 o superiore che non ne hanno. Questo non accade nelle dimensioni inferiori: tutte le varietà di dimensione 1, 2 e 3 sono triangolabili. La triangolabilità è quindi un fattore importante nella topologia della dimensione bassa.

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Controllo di autoritàThesaurus BNCF 32731 · NDL (ENJA00563652
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica