Complesso simpliciale

In matematica e in topologia un complesso simpliciale è un'aggregazione ordinata di simplessi, ossia un'unione di un certo numero di simplessi che si intersecano fra loro solo su facce comuni.

Questo è un complesso simpliciale.

Questo non è un complesso simpliciale: i simplessi si intersecano male.

Un complesso simpliciale definisce quindi uno spazio topologico, il quale può essere descritto da più complessi simpliciali differenti, ciascuno dei quali è detto triangolazione dello spazio. Questa descrizione combinatoria permette un calcolo agevole di molte proprietà dello spazio, come il gruppo fondamentale e soprattutto l'omologia. I complessi simpliciali sono quindi un ingrediente fondamentale della topologia algebrica.

Non tutti gli spazi topologici sono però realizzabili come complessi simpliciali.

Definizione

Un complesso simpliciale è un insieme $K$ di simplessi in $\mathbb {R} ^{n}$ tali che:

• Ogni faccia di un simplesso in $K$ è un elemento di $K$.
• L'intersezione di due simplessi è vuota o è una faccia di entrambi.
• L'insieme $K$ è localmente finito: ogni insieme limitato di $\mathbb {R} ^{n}$ interseca un numero finito di elementi di $K$.

L'insieme $K$ non è necessariamente finito. La sua dimensione dim$(K)$ è la massima dimensione di un simplesso in $K$, e non può essere più grande di $n$.

L'unione dei simplessi è il sostegno o supporto del complesso ed è indicata con $|K|$. Come sottospazio di $\mathbb {R} ^{n}$, è uno spazio metrico ed uno spazio topologico.

Chiusura, stella e collegamento

Sia K un complesso simpliciale e sia S una collezione di simplessi in K.

La chiusura di S (denotata Cl S) è il più piccolo sottocomplesso simpliciale di K che contiene ciascun simplesso in S. Cl S si ottiene aggiungendo ripetutamente a S ciascuna faccia di ogni simplesso in S.

La stella di S (denotata St S) è l'insieme di tutti i simplessi in K che hanno una qualsiasi faccia in S. (Si noti che la stella stessa non è generalmente un complesso simpliciale).

Il collegamento di S (denotato Lk S) equivale a Cl St S - St Cl S. È la stella chiusa di S meno le stelle di tutte le facce di S.

Triangolazioni

Politopi

Una triangolazione di un politopo $P$ in $\mathbb {R} ^{n}$ è un complesso simpliciale $K$ il cui supporto è $|K|=P$. Ad esempio, una triangolazione di un poligono è una suddivisione di questo in triangoli.

Spazi topologici

Una triangolazione di uno spazio topologico $X$ è un complesso simpliciale $K$ tale che $X$ è omeomorfo a $|K|$.

Uno spazio topologico che ammette una triangolazione è detto triangolabile. Questo è necessariamente di Hausdorff e metrizzabile. Non tutti tali spazi hanno però delle triangolazioni: esistono delle varietà topologiche in dimensione 4 o superiore che non ne hanno. Questo non accade nelle dimensioni inferiori: tutte le varietà di dimensione 1, 2 e 3 sono triangolabili. La triangolabilità è quindi un fattore importante nella topologia della dimensione bassa.

Voci correlate

• Simplesso
• Omologia (algebra)

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Complesso simpliciale, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Complesso simpliciale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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