Criteri di convergenza

condizioni sufficienti per la determinazione del carattere della serie
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In analisi matematica i criteri di convergenza per le serie sono condizioni sufficienti per la determinazione del carattere della serie.

Serie a termini concordiModifica

Primo criterio del confrontoModifica

Consideriamo due serie a termini non negativi   e   tali che      :

  • se la maggiorante converge, la minorante è convergente;
  • se la minorante diverge, la maggiorante è divergente.

Questo criterio viene utilizzato per dimostrare che la serie armonica generalizzata è divergente per α ≤ 1.

DimostrazioneModifica

Data la successione di somme parziali   di  , dove   è monotona crescente:  .

Idem con   successione di somme parziali di  :  .

Abbiamo che:  , dove non è da escludere che gli estremi superiori possano assumere anche il valore  .

Quanto affermato nel criterio ne segue immediatamente.

Secondo criterio del confronto o del confronto asintoticoModifica

Date due serie a termini positivi   e  

se   è convergente e  , dove   esiste ed è finito, allora   è convergente;

se   è divergente e   (anche  ), allora   è divergente.

Il criterio del confronto asintotico è utile per far vedere che la serie armonica generalizzata è convergente per  .

DimostrazioneModifica

Dato che  , per definizione di limite di successione abbiamo che:

 

se prendo  , allora ho:  , che si può riscrivere:  .

Dunque poiché   converge anche   e   convergono, di conseguenza anche   converge.

Analogamente per   divergente.

Confronto con la serie geometrica: criteri derivati e stima del restoModifica

Per applicare i criteri di confronto in modo diretto bisogna prendere in considerazione due serie, di cui una abbia un carattere noto (cioè si sappia se converge o meno), mentre l'altra abbia un carattere da valutare in base al confronto. Una delle due serie fa dunque da serie di riferimento.

Se però come serie di riferimento   fissiamo una particolare serie e confrontiamo una generica serie   con la serie fissata, allora - avendo fissato una delle serie - il criterio del confronto si riduce a delle condizioni sui termini  . Si ottengono così una serie di criteri derivati, che fanno riferimento esplicitamente ad una sola serie di cui si vuole stabilire il carattere, ma che tuttavia "sottintendono" un confronto con la serie di riferimento fissata. Quando si applicano tali criteri è importante tenere presente quale sia la serie "sottintesa", poiché ovviamente la stima del criterio derivato non potrà essere più raffinata di quella che si otterrebbe da un confronto diretto dalla serie studiata con quella di riferimento.

Una delle serie più utili come serie di riferimento per il confronto è la serie geometrica, cioè la successione delle somme parziali delle potenze di un argomento dato:

 

Applicando i criteri di confronto al confronto con questa serie si possono ricavare i seguenti criteri derivati:

Criterio della radice (o di Cauchy)Modifica

Consideriamo una serie a termini non negativi   per la quale esista il limite   .

Il carattere della serie risulta:

  • convergente se  
  • divergente se  
  • non si può stabilire il carattere della serie se  
DimostrazioneModifica

Basta osservare che se   allora possiamo fissare un   fra   e 1 tale che per tutti gli   maggiori di un certo   abbastanza grande i termini della successione siano minori di  :

 

Elevando per   si ottiene dunque:

 

Applicando allora il criterio del confronto fra la serie   e la serie geometrica   si ha che la serie converge.

Se   allora esiste   tale che per ogni   si ha   da cui  . Dato che   non tende a 0 la serie

 

diverge.

EsempioModifica

Stabiliamo il carattere della serie:

 .

Applicando il criterio della radice abbiamo:

 .

Ma

 

come si deduce facilmente passando al logaritmo:

 

Quindi   se   la serie converge, mentre se   la serie diverge.

Per   la serie diviene la serie armonica generalizzata con   che diverge se   e converge se  .

Criterio del rapporto (o di d'Alembert)Modifica

Consideriamo una serie a termini positivi   tale che esista il limite  . Questa serie:

  • converge, se  ;
  • diverge, se  ;
  • ha un comportamento che non può essere stabilito da questo criterio, se  .
Dimostrazione[1]Modifica

Caso I

Se  , possiamo fissare un numero   tale che, per tutti gli   maggiori di un certo   abbastanza grande, il rapporto fra due termini successivi sia minore di  .

 

da cui:

 

Dal momento che questa relazione vale per tutti gli   maggiori di  , partendo da un generico termine   possiamo procedere a ritroso fino a  :

 

A meno di una costante moltiplicativa (si ricordi che   è un numero), la successione   risulta minorante della successione delle potenze di  , che è convergente, essendo  . Di conseguenza, per il primo criterio del confronto, la serie degli   converge.

Caso II

Essendo  , si consideri un numero  . Esiste allora un valore   tale che

 

ovvero

 

e analogamente

 
 

...

 

La coda della serie degli   è maggiorante di una serie geometrica che ha ragione   e che è quindi divergente:

 

Di conseguenza, utilizzando il primo criterio del confronto, anche la serie   risulta divergente.

Stima del restoModifica

Il confronto con la serie geometrica rende particolarmente agevole la valutazione del "resto", cioè dell'errore che si commette calcolando la somma di una serie fermandosi al suo  -esimo termine:

 

Supponiamo infatti di avere una serie   tale che da un certo   in poi i termini   siano minori dei termini di una serie geometrica di argomento   tale che   a meno di una costante moltiplicativa  :

 

Allora non solo la serie   converge, ma si ha anche:

 

Questa espressione si semplifica ulteriormente nel caso in cui il confronto della serie   con la serie geometrica venga ottenuto per mezzo del criterio del rapporto. In quel caso infatti, come si è mostrato nella Dimostrazione, esiste una certa costante   e un certo intero   abbastanza grande tale che:

 

Possiamo dunque applicare la formula per il resto precedentemente trovata, con la costante moltiplicativa  , ottenendo:

 

Dunque nei casi in cui si applica il criterio del rapporto il resto  -esimo della serie da stimare è limitato, a meno di una costante moltiplicativa, dall' -esimo termine della serie. Questa è una relazione molto importante per gli sviluppi in serie di funzioni.

Criterio di RaabeModifica

Consideriamo una serie   a termini positivi, per la quale esiste il limite   ;

se   la serie converge, mentre se   la serie diverge; se   il criterio non contribuisce a chiarire il suo comportamento.

DimostrazioneModifica

Dimostriamo la divergenza

Dato che   per definizione di limite di successioni avremo:

 

Facendo qualche semplice passaggio si ottiene:

  questo vale per  .

da questa posso scrivere:

 

dove:

 

Perché quest'ultima è una serie armonica moltiplicata per una costante.

Inoltre per il Criterio del Confronto risulta che

 

C.V.D.

Criterio di condensazione di CauchyModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di condensazione di Cauchy.

Se   è una successione positiva non crescente, la serie

 

converge se e solo se converge la serie

 

Criterio dell'integraleModifica

Si consideri un intero   e una funzione continua non negativa   definita sull'intervallo illimitato  , in cui è monotonicamente decrescente. Allora la serie

 

converge a un numero reale se e solo se l'integrale improprio

 

è finito.

Osservazione: se l'integrale improprio è finito, allora il metodo dà anche un maggiorante e un minorante

 

per la serie.

DimostrazioneModifica

La dimostrazione utilizza il teorema del confronto fra il termine   con l'integrale di   sugli intervalli   e  , rispettivamente.

Poiché   è decrescente, si sa che

 

e

 

Quindi, per ogni intero  ,

 

e, per ogni intero  ,

 

Dalla somma su tutti gli   da   a qualche intero maggiore  , si ricava dalle disuguaglianze precedenti che

 

e

 

Combinando i risultati si ha

 

Facendo tendere   a infinito, segue sia il teorema che la stima del valore della serie.

Serie a termini discordiModifica

Criterio di convergenza assolutaModifica

Data una serie  , si dice che essa è assolutamente convergente se   converge.

TeoremaModifica

Se una serie è convergente assolutamente è anche convergente semplicemente.

DimostrazioneModifica

Sia   una serie.

Consideriamo  ; per ipotesi, essa converge. Allora
  (deve essere soddisfatta la condizione di Cauchy sulle serie)

  (la serie dei moduli non è mai negativa)

  (minorazione tramite la diseguaglianza triangolare: la somma dei moduli è maggiore eguale al modulo della somma)

 .

C.V.D.

Criterio di LeibnizModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Leibniz.

Si dicono serie a termini di segno alterno le serie a termini reali tali che due termini consecutivi hanno segno opposto.
La serie   è dunque a termini di segno alterno, infatti:

  • per n pari il termine è positivo;
  • per n dispari il termine è negativo.

Per queste serie vale il seguente criterio di Leibniz:

Data la serie di termini a segno alterno  , se la successione   è definitivamente positiva, decrescente e tende a  , cioè:

  •  
  •  

allora si ha che:

  • la serie è convergente ad  
  • Le somme parziali di ordine pari e quelle di ordine dispari sono monotone e tendono ad  
  •  , il resto n-esimo è minore al termine  

Criterio di DirichletModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Dirichlet (matematica).

Il criterio di Dirichlet per le serie generalizza il criterio di Leibniz. Siano   e   due successioni. Se   tende monotonamente a  , e se la serie dei   è limitata, cioè se

 
 ,

allora la serie   è convergente. In particolare, ponendo   si ottiene il criterio di Leibniz.

NoteModifica

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