Criterio di Leibniz

In analisi matematica, il criterio di Leibniz (scritto anche Leibnitz) è un criterio di convergenza applicabile a serie a termini di segno alterno. Secondo tale criterio se una successione a termini positivi {ak} è decrescente e infinitesima, allora la serie converge.

Prende il nome dal matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz.

EnunciatoModifica

Sia   una successione di numeri reali tale che:

  • esiste un   tale che   per ogni  
  •  .

Allora[1] è convergente la serie

 .

DimostrazioneModifica

Poiché {an} è decrescente, per ogni n si ha che

 

da cui segue che

 

Similmente

 

e quindi

 

Si hanno quindi due successioni: una decrescente formata dai termini pari delle somme parziali e una crescente formata dai termini dispari delle somme parziali. Inoltre   e quindi ogni elemento della seconda successione è minore di ogni elemento della prima. Possiamo porre   e  . Per ogni n si ha

 

perché se fosse D>P potremmo trovare delle somme parziali di termine pari a una distanza minore di ogni   da P e termine dispari distanti da D meno di  ; per   sufficientemente piccolo si avrebbe allora un termine dispari maggiore di uno pari, cosa che abbiamo già dimostrato essere impossibile.

Inoltre la distanza tra P e D diventa più piccola di ogni an; ma tale successione tende a 0, e quindi così fa P-D, ovvero P=D. Poniamo S=P=D. Essendo S il limite delle somme parziali pari, per la definizione di limite per ogni   esiste m tale che   per ogni n>m (n pari). Allo stesso modo, essendo S il limite delle somme parziali dispari, esiste k tale che la disuguaglianza vale per ogni n dispari maggiore di k. Quindi prendendo   la disuguaglianza vale per ogni n>h, per ogni n pari e dispari, e si ha quindi

 

e la serie converge.

Osservazioni sulla dimostrazioneModifica

  • Dalla dimostrazione, abbiamo che  ; il che significa che, approssimando la somma della serie con la somma parziale  -esima, l'errore commesso non supera il termine successivo trascurato (preso in modulo). Ad esempio, si consideri la serie:
 ;
calcolando la somma dei primi dieci termini, si ottiene
 ,
mentre la somma infinita vale esattamente
 ,
e si nota che  .
  • Se l'ipotesi che la successione sia non crescente viene sostituita con quella (più debole) di successione asintoticamente non crescente (cioè   dove   soddisfa le ipotesi del teorema di Leibniz), il teorema non è più valido.

Dimostrazione alternativaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Dirichlet (matematica).

Il criterio di Leibniz può essere visto come corollario del criterio di Dirichlet per le serie.

NoteModifica

  1. ^ Rudin, pag. 71, che dà una formulazione equivalente del teorema.

BibliografiaModifica

  • Enrico Giusti, Analisi matematica 1, Giusti, Torino 1988, ISBN 8833956849
  • (EN) W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X.

Voci correlateModifica

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