Criterio di Dirichlet (matematica)

Nel contesto dell'analisi matematica, il criterio di Dirichlet è un metodo per determinare la convergenza di particolari serie numeriche.

Enunciato

Siano $\{a_{n}\}$ una successione di numeri complessi e $\{b_{n}\}$ una successione di numeri reali tali che:

$b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots >0;$

$\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=0;$

$\left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}\right|\leq M$ per ogni intero positivo $N,$ dove $M$ è indipendente dalla scelta di $N.$

Allora^[1] $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ converge in $\mathbb {C} .$

Dimostrazione

Sia $A_{n}=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}}$ , e sia $M\in \mathbb {R}$ tale che $M\geq |A_{n}|$ per ogni intero non negativo $n.$ Allora, fissato un $\varepsilon >0$ esiste un intero $N$ tale che $b_{N}\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}.$ Per ogni $N\leq m\leq n$ si ha allora, per parti^[1]:

\left|\sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}\right|=\left|\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}(b_{i}-b_{i+1})}+A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}\right|\leq M\left|\sum _{i=m}^{n-1}{(b_{i}-b_{i+1})}+b_{n}+b_{m}\right|=2Mb_{m}\leq 2Mb_{N}\leq \varepsilon .

Quindi, per il criterio di Cauchy, la serie è convergente. Q.E.D.

Corollari

Criterio di Leibniz

Il criterio di Dirichlet è una evidente generalizzazione del criterio di Leibniz, dove la successione $\{a_{n}\}$ è la successione $(-1)^{n}$ ^[2].

Convergenza di una serie di potenze

Sia $\sum {b_{i}z^{i}}$ una serie di potenze il cui raggio di convergenza è 1, e sia $\{b_{n}\}$ una successione non crescente e infinitesima per $n\to \infty$ . Allora la serie di potenze converge in tutti i punti del cerchio $C=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$ tranne al più in $z=1$ ^[2].