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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Convergenza (disambigua).

In matematica, la convergenza è la proprietà di una certa funzione o successione di possedere un limite finito di qualche tipo, al tendere della variabile (o dell'indice eventualmente) verso certi valori in un punto o all'infinito.

Il concetto si applica dunque a vari campi della matematica, tutti in qualche modo collegati ma con interpretazioni leggermente diverse.

Indice

Limite di una funzioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Limite (matematica).

Data una funzione continua  , si dice che   converge (o tende) al limite finito   per   che tende ad   se per ogni   esiste un   tale che per ogni   che soddisfa   si ha che  . Ovvero:

 

Analogamente, si dice che   converge al limite finito   per   che tende a infinito se per ogni   esiste un   tale che per ogni   soddisfacente la condizione   si ha che  . Ovvero:

 

Convergenza di una successione in una dimensioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Limite di una successione.

La convergenza di una successione numerica   di numeri reali si verifica quando per  , a partire da un certo indice in poi tutti i termini della successione si trovino nell'intorno di un punto, detto limite della successione.

Matematicamente questo si esprime dicendo che una successione   converge al numero a per  , e si scrive  , se   esiste un indice naturale  , in generale dipendente da  , tale che la   per ogni  .

Questo garantisce che tutti i termini della successione, caratterizzati da  , siano contenuti nell'intorno  . Una successione convergente è necessariamente limitata.

Convergenza delle serieModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Serie, Serie convergente e Criteri di convergenza.

Si consideri una successione di elementi  . Si definisce serie associata ad   la somma:

 .

Per ogni indice   della successione, si definisce serie delle somme parziali   associata a   la somma dei termini della successione   da   a  :

 

Si dice che la serie   è convergente al limite   se la relativa successione delle somme parziali   converge a  . Ovvero, si verifica che:

 

se e solo se:

 

Il limite sopra enunciato si dice somma della serie, ed esprime il carattere della serie.

Teorema della convergenzaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Limite di una funzione e Limite di funzioni a più variabili.

Formalmente il concetto di convergenza di una successione è simile a quello delle funzioni  . Data una successione di numeri reali   che converge a un certo limite   per  , si ha:

 

In modo equivalente, per ogni   esiste un intorno  , in generale dipendente da  , tale che:

 

qualora si verifichi:

 

Questo garantisce che, come i termini della successione sono contenuti nell'intorno di  , allo stesso modo tutti i valori della funzione sono contenuti nell'intorno:

 

Ogni funzione convergente è quindi necessariamente limitata, e questo implica anche il concetto di continuità di una funzione.

EnunciatoModifica

Si supponga di avere una funzione   tale che   con α appartenente a un certo intervallo  . Si può porre:

 

Si ha dunque:

 

Se esiste   tale che:

 

e se esiste   tale che:

 

allora si ha:

  • Se   allora:
 
  •  
  •   è l'unica radice in  

DimostrazioneModifica

Premesso che:

 

si ha:

 

Oltre ad avere:

 

si verifica che:

 

Si ottiene:

 

Poiché   tende a zero quando i tende a infinito, la successione converge.

Si ponga per assurdo che nell'intervallo vi sia β, radice della funzione diversa da α. Si ha:

 

Il fatto che:

 

è assurdo, e quindi α è l'unica radice dell'intervallo.

Convergenza delle successioni e serie di funzioniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Successione di funzioni e Serie di funzioni.

Per le successioni   vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

  • La convergenza puntuale:
 
  • La convergenza uniforme:
 

Per le serie di funzioni   vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

  • La convergenza puntuale si verifica se la serie numerica   converge per ogni  .
  • La convergenza uniforme si verifica se la successione delle somme parziali converge uniformemente.
  • La convergenza totale si verifica se esiste una serie numerica   convergente tale che:
 
per ogni   e  .

Convergenza di variabili casualiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Convergenza di variabili casuali.

Data una successione di variabili casuali  , vi sono più tipi di convergenza:

  • La convergenza in distribuzione:
 
dove   e   sono le funzioni di ripartizione delle   e del limite   rispettivamente.
  • La convergenza in probabilità:
 
  • La convergenza quasi certa:
 
  • La convergenza in media r-esima:
 

Voci correlateModifica