Matrice normale

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata a valori complessi è una matrice normale se:

dove è la matrice trasposta coniugata di . Ovvero, una matrice normale è una matrice che commuta con la sua trasposta coniugata. Se è una matrice reale, allora è semplicemente uguale alla trasposta di .

Le matrici normali sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

Il concetto di matrice normale può essere generalizzato agli operatori normali sugli spazi di Hilbert e agli elementi normali nelle C*-algebre.

ProprietàModifica

Le matrici normali sono le matrici a cui si applica il teorema spettrale: possono essere rappresentate da una matrice diagonale rispetto a una base ortonormale di   opportunamente scelta. In altri termini, una matrice è normale se e solo se i suoi autospazi generano   e sono ortogonali due a due rispetto all'usuale prodotto scalare di  .

In generale, la somma o il prodotto di due matrici normali non è necessariamente normale. Tuttavia, se   e   sono normali con  , allora sia   che   sono normali e inoltre è possibile diagonalizzare simultaneamente   e   nel seguente senso: esiste una matrice unitaria   tale che   e   sono entrambe matrici diagonali. In questo caso, le colonne di   sono autovettori sia di   che di   e formano una base ortonormale di  .

Se   è una matrice normale invertibile, allora esiste una matrice unitaria   e una matrice definita positiva   tale che  . Le matrici   e   sono unicamente determinate da  . Questa affermazione può essere vista come un analogo (e una generalizzazione) della rappresentazione polare dei numeri complessi non nulli.

Tutte le matrici unitarie, hermitiane, antihermitiane e definite positive sono normali. Se   è unitaria  . Se   è hermitiana, allora   e quindi  . Tuttavia non tutte le matrici normali sono unitarie, hermitiane, o definite positive.

Relativamente allo spettro di  , si ha che una matrice è normale se e solo se:

 

dove   sono i valori singolari di   e   gli autovalori di  .

Un'altra condizione necessaria e sufficiente è che la norma di Frobenius di   può essere calcolata con i suoi autovalori:

 

La norma operatoriale di una matrice normale  , inoltre, è pari al suo raggio spettrale:

 

dove   è lo spettro di  .

EsempioModifica

La matrice:

 

è normale poiché:

 
 

ma non è unitaria, né hermitiana, né definita positiva.

BibliografiaModifica

  • (EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, p. 157, ISBN 978-0-521-30587-7.
  • (EN) Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.

Voci correlateModifica

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