Distribuzione di Wishart

In teoria della probabilità, la distribuzione di Wishart, così chiamata in onore di John Wishart, è una distribuzione di probabilità continua che generalizza la distribuzione chi quadro. È definita sullo spazio delle matrici simmetriche definite negative. Queste distribuzioni sono di grande importanza per la stima delle matrici di covarianza nell'ambito della statistica multivariata.

Definizione della distribuzione di WishartModifica

La variabile casuale di Wishart viene definita come segue. Sia X una matrice n × p, ognuna delle cui righe distribuita come una variabile casuale normale multivariata,

 

Allora la distribuzione di Wishart è la distribuzione di probabilità della matrice aleatoria p × p

 

ove AT indica la trasposta di A, e si indica con

 

L'intero n corrisponde al numero dei gradi di libertà. Se p = 1 e V = 1 allora questa è una variabile casuale chi quadro.

Funzione di densitàModifica

La distribuzione di Wishart può essere caratterizzata dalla sua funzione di densità di probabilità come segue.

Sia   una matrice simmetrica   di variabili casuali definita positiva. Sia inoltre   una matrice positiva   non stocastica (vale a dire con valori fissi).

Allora, se  ,   è una distribuzione di Wishart con   gradi di libertà se ha la funzione di densità di probabilità   data da

 

ove   è la funzione gamma multivariata definita come

  .

ProprietàModifica

TeoremaModifica

Se   è distribuita come una v.c. di Wishart con   gradi di libertà e matrice delle varianze  , cioè  , e   è una matrice   di rango  , allora

 

Primo corollarioModifica

Se   è un vettore costante non nullo  , allora  

(Qui   è la variabile casuale chi quadro e  ; si noti che   è costante e positivo, in quanto   è definito positivo).

Secondo corollarioModifica

Si consideri il caso ove   (vettore con lo j-esimo componente uguale a 1 e con tutti gli altri zero). Allora dal primo corollario discende che

 

Un noto statistico (George Seber) fa notare che la distribuzione di Wishart non è chiamata "chi quadrato multivariata" in quanto la distribuzione marginale degli elementi non diagonali non sono distribuiti come una chi quadrato. Seber preferisce riservare il termine "multivariata" per i casi in cui tutti i marginali univariati sono della stessa famiglia.

Stimatore della distribuzione normale multivariataModifica

La v.c. di Wishart è la variabile casuale dello stimatore di massima verosomiglianza della matrice delle covarianze di una variabile casuale gaussiana multivariata. Tale derivazione è sorprendentemente sottile ed elegante. Essa coinvolge, da una parte, il teorema spettrale e, dall'altra, la ragione per la quale può essere meglio interpretare uno scalare come la traccia di una matrice 1×1 piuttosto che come un semplice scalare.

V.c. di Wishart e v.c. Lambda di WilksModifica

Siano date le due v.c. distribuite come una v.c. di Wishart

 

indipendenti tra di loro e con  , allora

 

dove   è una variabile casuale Lambda di Wilks.

Voci correlateModifica

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