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In algebra lineare, una matrice simmetrica è una matrice quadrata che ha la proprietà di essere la trasposta di se stessa.

Indice

DefinizioneModifica

Detta   la matrice trasposta di  , una matrice   è simmetrica quando:

 

o equivalentemente quando i suoi elementi   soddisfano:

 

Per matrici a coefficienti reali i concetti di matrice simmetrica e di matrice hermitiana (una matrice uguale alla propria trasposta coniugata) sono equivalenti.

ProprietàModifica

Uno dei teoremi basilari riguardanti tali matrici è il teorema spettrale in dimensione finita, il quale afferma che ogni matrice simmetrica a coefficienti reali può essere diagonalizzata tramite una matrice ortogonale.

Una matrice  , definita su un campo a caratteristica diversa da 2 (o più in genere su un anello nel quale l'elemento 2 è invertibile), può sempre essere scritta come somma di una matrice simmetrica   e di una matrice antisimmetrica  . Supponendo infatti di poter scrivere:

 

per definizione di matrice simmetrica e di matrice antisimmetrica si ha:

 

quindi le matrici   e   sono univocamente determinate:

 

Su un anello nel quale la divisione per 2 non è sempre possibile questo ragionamento non si può applicare, ed esistono sempre dei controesempi. Ad esempio, una matrice della forma:

 

non si può scrivere come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica né sull'anello degli interi  , né sul campo finito  .

EsempiModifica

I coefficienti di una matrice simmetrica sono simmetrici rispetto alla diagonale principale (che va dall'angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra). Ad esempio:

 

Ogni matrice diagonale è simmetrica, in quanto tutti i coefficienti all'esterno della diagonale principale sono zero.

Il prodotto  , tra una qualsiasi matrice   e la sua trasposta, restituisce sempre una matrice simmetrica.

Esempi di particolari matrici simmetriche sono la matrice di Hankel, la matrice di Gram, la matrice di Hilbert e la matrice di Filbert. Vi sono anche la matrice di Toeplitz, la matrice identità, e la matrice nulla.

BibliografiaModifica

  • (EN) F.R. Gantmakher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1959–1960) pp. Vol. 1, Chapt. IX; Vol. 2, Chapt. XI
  • (EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. Sect. 2.7

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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