Distribuzione logistica

In teoria delle probabilità la distribuzione logistica è una distribuzione di probabilità continua definita sui numeri reali e legata all'equazione logistica descritta dal matematico belga Pierre François Verhulst.

Distribuzione logistica
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	$\mu$ (media) $s>0\$
Supporto	$\mathbb {R}$
Funzione di densità	${\frac {e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}{s\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{2}}}$
Funzione di ripartizione	${\frac {1}{1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}}$
Valore atteso	$\mu \$
Mediana	$\mu \$
Moda	$\mu \$
Varianza	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$
Indice di asimmetria	$0\$
Curtosi	${\frac {6}{5}}$
Entropia	$2+\log s\$
Funzione generatrice dei momenti	$e^{\mu t}\mathrm {B} (1-st,1+st)\$ (con $\mathrm {B}$ la funzione Beta, definita per $st$ con parte reale compresa tra -1 e 1)
Funzione caratteristica	$e^{i\mu t}\mathrm {B} (1-ist,1+ist)\$ (con $\mathrm {B}$ la funzione Beta, definita per $ist$ con parte reale compresa tra -1 e 1)

Viene utilizzata in molti degli ambiti che descrivono modelli di crescita tramite l'equazione logistica.

Definizione

La distribuzione logistica è una distribuzione di probabilità la cui funzione di ripartizione risolve l'equazione logistica

$F'={\frac {1}{s}}F(1-F),$

con $s>0.$

La distribuzione logistica di parametri $(s,\mu )$ ha funzione di ripartizione

$F(x)={\frac {1}{1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}},$

e funzione di densità di probabilità

$f(x)=F'(x)={\frac {e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}{s\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{2}}}.$

Le due funzioni possono anche essere espresse in termini di funzioni iperboliche come

$f(x)={\tfrac {1}{4s}}(\cosh {\tfrac {x-\mu }{2s}})^{-2},$

$F(x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh {\tfrac {x-\mu }{2s}},$

dove $\cosh(t)={\tfrac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$ è il coseno iperbolico e $\tanh(t)={\tfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$ la tangente iperbolica.

Caratteristiche

La distribuzione logistica di parametri $(s,\mu )$ ha densità di probabilità simmetrica rispetto a $\mu$, dove assume il valore massimo. In particolare ha speranza matematica, mediana e moda pari a $\mu$, mentre il suo indice di asimmetria è $0.$

I quantili $q_{\alpha }$ di ordine $\alpha$ possono essere determinati tramite l'inversa della funzione di ripartizione,

$q_{\alpha }=F^{-1}(\alpha )=\mu +s\log {\tfrac {\alpha }{1-\alpha }}.$

La funzione $\log {\tfrac {x}{1-x}}$ è detta funzione logit.

I momenti centrali della distribuzione sono

$m_{k}=\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{k}f(x)dx=\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{k}dF(x)=\int _{0}^{1}\left(s\log {\tfrac {t}{1-t}}\right)^{k}dt=s^{k}\pi ^{k}(2^{k}-2)|B_{k}|,$

dove $B_{k}$ è il $k$-esimo numero di Bernoulli.

In particolare la distribuzione ha varianza ${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$ e coefficiente di curtosi $\gamma _{2}={\frac {6}{5}}.$

Altre distribuzioni

La distribuzione log-logistica (o loglogistica) è la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria $X$ il cui logaritmo $\log X$ segua la distribuzione logistica.

Voci correlate

• Equazione logistica

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione logistica, su MathWorld, Wolfram Research.