Residuo (analisi complessa)

In analisi complessa, il residuo è un numero complesso che descrive il comportamento degli integrali di linea di una funzione olomorfa intorno ad una singolarità isolata.

I residui vengono calcolati facilmente e sono uno strumento potente dell'analisi complessa, poiché permettono di valutare numerosi integrali attraverso il calcolo (generalmente più semplice) di alcune derivate, tramite il teorema dei residui.

DefinizioneModifica

Sia   un aperto del piano complesso  , e   un punto di  . Sia

 

una funzione olomorfa che in   ha una singolarità isolata e quindi un unico sviluppo locale in serie di Laurent

 

Il residuo di   in   è l'integrale di   lungo la circonferenza   diviso per  :

 

dove il raggio   è preso sufficientemente piccolo da non contenere altre singolarità isolate. In modo equivalente, il residuo di   in   è il coefficiente   della serie di Laurent, e viene indicato con

 

Il valore del residuo non dipende dal raggio del cerchio lungo il quale avviene l'integrazione, ma solo dal comportamento della funzione nel punto di singolarità.

Integrali di lineaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema dei residui.

Il residuo è importante perché determina l'integrale di   lungo una curva chiusa che abbia indice di avvolgimento uno intorno alla singolarità. Ad esempio, la curva

 

definita su  , per   sufficientemente piccolo in modo che il suo supporto sia effettivamente in  . Vale quindi

 

Infatti valgono le uguaglianze

 

Tutti i termini diversi da   infatti non contribuiscono all'integrale, poiché la funzione   ha una primitiva ben definita per ogni   maggiore di  , data da   mentre per ogni   minore di   l'integrale su linea chiusa è nullo anche se non ben definito per   L'ultima uguaglianza può essere calcolata direttamente, traslando in   per comodità:

 

Calcolo del residuoModifica

Il calcolo del residuo di una funzione   in un punto   risulta particolarmente semplice nel caso in cui la singolarità isolata   sia eliminabile o un polo. Se la singolarità è eliminabile allora il residuo è automaticamente zero, mentre se   è un polo di ordine k il residuo è:

 

e in particolare, se   è un polo semplice (cioè se k = 1), allora il residuo è semplicemente:

 

Infatti la serie di Laurent si scrive come

 

ove   è l'ordine del polo. Ponendo

 ,

si ottiene una funzione analitica in   con sviluppo di Taylor

 

Confrontando il coefficiente del termine di grado k-1 delle due serie per g (z), risulta quindi

 

Residuo all'infinitoModifica

Una funzione olomorfa   è definita in un intorno dell'infinito   se esiste un   tale che l'aperto   contenga tutti gli   con modulo  . In questo caso, è definito il residuo all'infinito di   come

 

dove

 

è una curva qualsiasi con   (il risultato non dipende da questa scelta).

In particolare, il residuo all'infinito può essere determinato come

 

Tale relazione discende da un semplice cambio di variabile (o trasformazione conforme) che manda la variabile z nella sua inversa  . Segue allora che

 

ove

 

Risulta allora che la funzione ha un punto singolare isolato nella nuova variabile ω dove essa vale 0. Ad essa si applica allora il teorema dei residui, da cui discende la formula per il residuo all'infinito. Da notare che la rappresentazione sulla sfera di Riemann fornisce una rappresentazione potente della situazione matematica descritta.

EsempiModifica

Esempio 1Modifica

Sia  ,

 .

Poiché   è olomorfa intorno a  , per ogni  , lo sviluppo di Laurent di   in   è lo sviluppo di Taylor, dunque   e dunque   se  .

Lo sviluppo di Laurent di   in   è

 

dunque   e allora  . Per  , considero la

 

e dunque  .

Esempio 2Modifica

Sia  ,

 .

Mostrare che   se  ,

  e

 .

Poiché   è olomorfa intorno a  , per ogni  , lo sviluppo di Laurent di   in   è lo sviluppo di Taylor, dunque   e dunque   se  , come nel caso precedente.

Lo sviluppo di Laurent di   in   è

 

dunque   e allora  . Per  , considero la

 

e dunque  .

Esempio 3Modifica

Sia  ,

 .

 

perché   ha grado 2 ma i due poli in   hanno ciascuno molteplicità 1.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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