Disuguaglianza di Hölder

In matematica la disuguaglianza di Hölder è un risultato basilare di analisi funzionale. Essa si è impiegata spesso nello studio degli spazi di funzioni noti come spazi Lp.

La disuguaglianza fu provata in una forma leggermente diversa da Leonard James Rogers nel 1888, e riscoperta indipendentemente da Otto Hölder nel 1889, dal quale prende il nome.[1]

La disuguaglianzaModifica

Sia   uno spazio di misura con misura   e  . Sia   l'esponente coniugato di  , ovvero quel numero tale che

 

o equivalentemente tale che

 

Si definisce inoltre   se  .

La disuguaglianza afferma che, date due funzioni misurabili   e  , si ha che   e:[2]

 

Esplicitando la norma p-esima nel caso   si ottiene la scrittura

 

La disuguaglianza coincide con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per  . Il numero   è anche detto coniugato di Hölder di  .

Si dimostra che la disuguaglianza diviene un'uguaglianza se e solo se esistono due costanti   e  , non entrambe nulle, tali che:

 

quasi ovunque in  .

DimostrazioneModifica

Se uno dei due fattori del secondo membro (ad esempio  ) è zero, allora vuol dire che   quasi ovunque; dunque anche   quasi ovunque e quindi   e il risultato vale con il segno di uguaglianza. Se uno dei due indici (ad esempio  ) è  , allora è   e:

 

quindi il risultato viene per monotonia dell'integrale di Lebesgue.

Altrimenti, per la disuguaglianza di Young vale che:

 

per quasi ogni  . Integrando entrambi i membri si ottiene:

 

Disuguaglianza di Hölder per numeri realiModifica

Nel caso molto particolare dello spazio euclideo  , la disuguaglianza prende la seguente forma:

 

Dimostrazione alternativaModifica

Posti:

 

e:

 

la disuguaglianza è:

 

Dalla concavità della funzione logaritmo si ha:

 

quindi per monotonia:

 

Sommando sull'indice   poiché   e  , si ottiene la tesi.

GeneralizzazioneModifica

Si può generalizzare il risultato con una tecnica dimostrativa simile, prendendo un numero finito qualsiasi di fattori, con indici opportuni: siano   tali che  , con:

 

Allora:

 

e si ha:

 

Generalizzazione nei numeri realiModifica

Siano   m n-uple di numeri reali e siano   dei reali tali che:

 

Allora:

 

Una conseguenza importante di questa generalizzazione porta ad un primo risultato di immersione tra spazi  , la disuguaglianza di interpolazione. Se:

 

allora   per ogni   e:

 

con   tale che:

 

NoteModifica

  1. ^ (EN) Leonard James Rogers in The MacTutor History of Mathematics, su www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. URL consultato il 19 giugno 2013.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 62.

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore, 2006, ISBN 978-88-207-1501-4.

Voci correlateModifica

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