Disuguaglianza di Young

In matematica, la disuguaglianza di Young afferma che se e sono numeri reali positivi e tali che , allora

L'uguaglianza vale solo se , dal momento che .

La disuguaglianza di Young è un caso particolare della versione pesata della disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. Essa viene utilizzata nella dimostrazione della disuguaglianza di Hölder.

DimostrazioneModifica

Sappiamo che la funzione   è convessa, dal momento che la sua derivata seconda è positiva per ogni valore di x. Pertanto, possiamo scrivere:

 .

Dove è stata usata la disuguaglianza di convessità, ossia il fatto che una funzione f è convessa se e solo se per ogni t compreso tra 0 ed 1 (estremi inclusi),

 

Dimostrazione alternativaModifica

Sia   una funzione convessa ( ). La sua trasformata di Legendre è, per definizione,

 

Fissato  , studiamo la derivata prima rispetto a   della funzione  :

 

Essendo la funzione concava (la sua derivata seconda è uguale a quella di  , che è una funzione concava, visto che   è convessa), per   la funzione   ha un massimo. Dunque:

 

Dal momento che   e che la trasformata di Legendre di una funzione convessa è anch'essa una funzione convessa ( ), risulta che le condizioni poste affinché valga la disuguaglianza di Young sono equivalenti al fatto che   sia la trasformata di Legendre di  . La dimostrazione della disuguaglianza diventa immediata; infatti, dalla definizione di trasformata di Legendre e di massimo di una funzione:

 

Il procedimento utilizzato è del tutto generale, e non dipende dalla scelta di  , purché sia una funzione convessa. È immediato dimostrare che, in generale,

 

BibliografiaModifica

  • Vladimir I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti, 2004, ISBN 88-359-5601-3.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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