Disuguaglianza di Young

In matematica, la disuguaglianza di Young afferma che se $a$ e $b$ sono numeri reali positivi e $p,q>1$ tali che ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$, allora

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.$

L'uguaglianza vale solo se $a^{p}=b^{q}$, dal momento che $ab=a(b^{q})^{1 \over q}=aa^{p \over q}=a^{p}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}$.

La disuguaglianza di Young è un caso particolare della versione pesata della disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. Essa viene utilizzata nella dimostrazione della disuguaglianza di Hölder.

Dimostrazione

Sappiamo che la funzione $f(x)=e^{x}$ è convessa, dal momento che la sua derivata seconda è positiva per ogni valore di x. Pertanto, possiamo scrivere:

$ab=e^{\ln(a)}e^{\ln(b)}=e^{{1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})}\leq {1 \over p}e^{\ln(a^{p})}+{1 \over q}e^{\ln(b^{q})}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}$.

Dove è stata usata la disuguaglianza di convessità, ossia il fatto che una funzione f è convessa se e solo se per ogni t compreso tra 0 ed 1 (estremi inclusi),

$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).$

Dimostrazione alternativa

Sia $f(a)={\frac {a^{p}}{p}}$ una funzione convessa ($a>0,\ p>1$). La sua trasformata di Legendre è, per definizione,

$f^{\star }(b)={\underset {a}{\max }}\left(ba-{\frac {a^{p}}{p}}\right).$

Fissato $b$, studiamo la derivata prima rispetto a $a$ della funzione $F(a,b)=ba-{\frac {a^{p}}{p}}$:

${\frac {\mathrm {d} F(a,b)}{\mathrm {d} a}}=b-a^{p-1}=0\iff a=b^{\frac {1}{p-1}}.$

Essendo la funzione concava (la sua derivata seconda è uguale a quella di $-f(a)$, che è una funzione concava, visto che $f(a)$ è convessa), per $a=b^{\frac {1}{p-1}}$ la funzione $F(a,b)$ ha un massimo. Dunque:

$f^{\star }(b)=b^{\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {b^{q}}{q}},\quad q={\frac {p}{p-1}}.$

Dal momento che $q={\frac {p}{p-1}}=1+{\frac {1}{p-1}}>1,\ \forall p>1$ e che la trasformata di Legendre di una funzione convessa è anch'essa una funzione convessa ($\implies b>0$), risulta che le condizioni poste affinché valga la disuguaglianza di Young sono equivalenti al fatto che ${\frac {b^{q}}{q}}$ sia la trasformata di Legendre di ${\frac {a^{p}}{p}}$. La dimostrazione della disuguaglianza diventa immediata; infatti, dalla definizione di trasformata di Legendre e di massimo di una funzione:

$ba-{\frac {a^{p}}{p}}\leq {\underset {a}{\max }}\left(ba-{\frac {a^{p}}{p}}\right)={\frac {b^{q}}{q}}\implies ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.$

Il procedimento utilizzato è del tutto generale, e non dipende dalla scelta di $f$, purché sia una funzione convessa. È immediato dimostrare che, in generale,

$px\leq f(x)+f^{\star }(p).$

Bibliografia

• Vladimir I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti, 2004, ISBN 88-359-5601-3.

Voci correlate

• Disuguaglianza di Hölder
• Trasformata di Legendre

Collegamenti esterni

• (EN) http://mathworld.wolfram.com/YoungsInequality.html - L'articolo di MathWorld sulla disuguaglianza di Young.