Divisione dei polinomi

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In matematica, la divisione dei polinomi è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili[1].

Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi e esistono unici altri due polinomi e tali che:

posto che il grado di sia minore di quello di . Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.

Il grado di sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di e quello di .

Nel caso in cui , sarebbe divisibile per .

L'algoritmoModifica

L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi[2]:

  1. Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di   (ad esempio,   andrà scritto come  ).
       
  2. Si divide il termine di grado massimo di   per il termine di grado massimo di   e si scrive il risultato sotto  .
           
     
  3. Si moltiplica questo termine   per il polinomio   e si scrive il risultato sotto  , incolonnando ogni termine sotto il termine di   di grado uguale.
           
           
  4. Si esegue la sottrazione tra   e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in   si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore (  o anche meno).
           
           
         
  5. Se il grado di questo polinomio differenza   è maggiore o uguale a quello di   si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso   come dividendo e aggiungendo il termine
     
    a destra del termine  , come addendo successivo.
  6. Quando si sarà raggiunto un polinomio   di grado inferiore a  , allora tale polinomio   sarà il resto   della divisione; il polinomio
     
    formatosi mano a mano sotto  , sarà invece il polinomio quoziente.

EsempioModifica

Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.

Dividiamo il polinomio

 

per il polinomio

 

Passo 1Modifica

Scriviamo i due polinomi   e   come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.

           

Passo 2Modifica

Dividiamo il termine di grado massimo di  , che risulta essere  , per il termine di grado massimo di  , che è   e scriviamo il risultato sotto  .

           
 

Passo 3Modifica

Ora scriviamo, sotto  , il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio  . Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.

           
           

Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di   e del polinomio scritto sotto  , sono uguali.

Passo 4Modifica

Ora sottraiamo   con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio  .

           
           
         

Il grado di   è maggiore di quello di  , dunque iteriamo il procedimento.

Passo 2bModifica

Dividiamo il termine di grado massimo di   che risulta essere   per il termine di grado massimo di   e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.

           
           
         

Passo 3bModifica

Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere  , per il polinomio   e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto  .

           
           
         
       

Passo 4bModifica

Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio   e il polinomio scritto sotto per ottenere  .

           
           
         
       
       

Dato che il grado di   non è inferiore a quello di   dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.

Passo 2cModifica

Dividiamo il termine di grado superiore di   per il termine di grado superiore di  .

           
           
         
       
       

Passo 3cModifica

Moltiplichiamo   per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto  .

           
           
         
       
       
     

Passo 4cModifica

Eseguiamo la sottrazione tra   e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio  .

           
           
         
       
       
     
     

Siamo giunti a  , che ha grado strettamente minore di  , dunque il resto è

 

e il quoziente della nostra divisione è

 

possiamo quindi scrivere

 

Regola di RuffiniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Regola di Ruffini.

Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore B è della forma   o  , un binomio di primo grado[3]. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.

NoteModifica

  1. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.19
  2. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. pp.20-21
  3. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.24

BibliografiaModifica

  • Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlateModifica

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