L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi[ 2] :
Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
(ad esempio,
x
2
−
1
{\displaystyle x^{2}-1}
andrà scritto come
x
2
+
0
x
−
1
{\displaystyle x^{2}+0x-1}
).
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
Si divide il termine di grado massimo di
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
per il termine di grado massimo di
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
e si scrive il risultato sotto
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
.
a
n
x
n
{\displaystyle a_{n}x^{n}}
+
…
{\displaystyle +\dots }
+
a
0
{\displaystyle +a_{0}}
b
m
x
m
+
⋯
+
b
0
{\displaystyle b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}}
a
n
x
n
b
m
x
m
=
q
k
x
k
{\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}}
Si moltiplica questo termine
q
k
x
k
{\displaystyle q_{k}x^{k}}
per il polinomio
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
e si scrive il risultato sotto
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
, incolonnando ogni termine sotto il termine di
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
di grado uguale.
a
n
x
n
{\displaystyle a_{n}x^{n}}
+
…
{\displaystyle +\dots }
+
a
0
{\displaystyle +a_{0}}
b
m
x
m
+
⋯
+
b
0
{\displaystyle b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}}
b
m
q
k
x
m
+
k
{\displaystyle b_{m}q_{k}x^{m+k}}
+
…
{\displaystyle +\dots }
+
b
0
q
k
x
k
{\displaystyle +b_{0}q_{k}x^{k}}
a
n
x
n
b
m
x
m
=
q
k
x
k
{\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}}
Si esegue la sottrazione tra
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in
x
n
{\displaystyle x^{n}}
si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore (
n
−
1
{\displaystyle n-1}
o anche meno).
a
n
x
n
{\displaystyle a_{n}x^{n}}
+
…
{\displaystyle +\dots }
+
a
0
{\displaystyle +a_{0}}
b
m
x
m
+
⋯
+
b
0
{\displaystyle b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}}
b
m
q
k
x
m
+
k
{\displaystyle b_{m}q_{k}x^{m+k}}
+
…
{\displaystyle +\dots }
+
b
0
q
k
x
k
{\displaystyle +b_{0}q_{k}x^{k}}
a
n
x
n
b
m
x
m
=
q
k
x
k
{\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}}
/
/
+
r
n
−
1
x
n
−
1
{\displaystyle //+r_{n-1}x^{n-1}}
+
…
{\displaystyle +\dots }
+
r
0
{\displaystyle +r_{0}}
Se il grado di questo polinomio differenza
R
1
(
x
)
{\displaystyle R_{1}(x)}
è maggiore o uguale a quello di
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso
R
1
{\displaystyle R_{1}}
come dividendo e aggiungendo il termine
r
n
−
1
x
n
−
1
b
m
x
m
=
q
k
−
1
x
k
−
1
{\displaystyle {\frac {r_{n-1}x^{n-1}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k-1}x^{k-1}}
a destra del termine
q
k
x
k
{\displaystyle q_{k}x^{k}}
, come addendo successivo.
Quando si sarà raggiunto un polinomio
R
i
(
x
)
{\displaystyle R_{i}(x)}
di grado inferiore a
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
, allora tale polinomio
R
i
(
x
)
{\displaystyle R_{i}(x)}
sarà il resto
R
(
x
)
{\displaystyle R(x)}
della divisione; il polinomio
Q
(
x
)
=
q
k
x
k
+
q
k
−
1
x
k
−
1
+
.
.
.
+
q
0
,
{\displaystyle Q(x)=q_{k}x^{k}+q_{k-1}x^{k-1}+...+q_{0},}
formatosi mano a mano sotto
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
, sarà invece il polinomio quoziente.
Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.
Dividiamo il polinomio
A
(
x
)
=
3
x
4
−
x
3
{\displaystyle A(x)=3x^{4}-x^{3}}
per il polinomio
B
(
x
)
=
x
2
−
2
{\displaystyle B(x)=x^{2}-2}
Scriviamo i due polinomi
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
e
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
Dividiamo il termine di grado massimo di
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
, che risulta essere
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
, per il termine di grado massimo di
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
, che è
x
2
{\displaystyle x^{2}}
e scriviamo il risultato sotto
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
.
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
3
x
2
{\displaystyle 3x^{2}}
Ora scriviamo, sotto
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
, il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
. Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
+
0
x
3
{\displaystyle +0x^{3}}
−
6
x
2
{\displaystyle -6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
3
x
2
{\displaystyle 3x^{2}}
Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
e del polinomio scritto sotto
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
, sono uguali.
Ora sottraiamo
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio
R
1
(
x
)
{\displaystyle R_{1}(x)}
.
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
+
0
x
3
{\displaystyle +0x^{3}}
−
6
x
2
{\displaystyle -6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
3
x
2
{\displaystyle 3x^{2}}
/
/
{\displaystyle //}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
6
x
2
{\displaystyle +6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
Il grado di
R
1
(
x
)
=
−
x
3
+
6
x
2
{\displaystyle R_{1}(x)=-x^{3}+6x^{2}}
è maggiore di quello di
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
, dunque iteriamo il procedimento.
Dividiamo il termine di grado massimo di
R
1
{\displaystyle R_{1}}
che risulta essere
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
per il termine di grado massimo di
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
+
0
x
3
{\displaystyle +0x^{3}}
−
6
x
2
{\displaystyle -6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
3
x
2
−
x
{\displaystyle 3x^{2}-x}
/
/
{\displaystyle //}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
6
x
2
{\displaystyle +6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere
−
x
{\displaystyle -x}
, per il polinomio
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto
R
1
(
x
)
{\displaystyle R_{1}(x)}
.
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
+
0
x
3
{\displaystyle +0x^{3}}
−
6
x
2
{\displaystyle -6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
3
x
2
−
x
{\displaystyle 3x^{2}-x}
/
/
{\displaystyle //}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
6
x
2
{\displaystyle +6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
2
x
{\displaystyle +2x}
+
0
{\displaystyle +0}
Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio
R
1
(
x
)
{\displaystyle R_{1}(x)}
e il polinomio scritto sotto per ottenere
R
2
(
x
)
{\displaystyle R_{2}(x)}
.
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
+
0
x
3
{\displaystyle +0x^{3}}
−
6
x
2
{\displaystyle -6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
3
x
2
−
x
{\displaystyle 3x^{2}-x}
/
/
{\displaystyle //}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
6
x
2
{\displaystyle +6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
2
x
{\displaystyle +2x}
+
0
{\displaystyle +0}
/
/
{\displaystyle //}
6
x
2
{\displaystyle 6x^{2}}
−
2
x
{\displaystyle -2x}
+
0
{\displaystyle +0}
Dato che il grado di
R
2
(
x
)
{\displaystyle R_{2}(x)}
non è inferiore a quello di
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.
Dividiamo il termine di grado superiore di
R
2
(
x
)
{\displaystyle R_{2}(x)}
per il termine di grado superiore di
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
.
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
+
0
x
3
{\displaystyle +0x^{3}}
−
6
x
2
{\displaystyle -6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
3
x
2
−
x
+
6
{\displaystyle 3x^{2}-x+6}
/
/
{\displaystyle //}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
6
x
2
{\displaystyle +6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
2
x
{\displaystyle +2x}
+
0
{\displaystyle +0}
/
/
{\displaystyle //}
6
x
2
{\displaystyle 6x^{2}}
−
2
x
{\displaystyle -2x}
+
0
{\displaystyle +0}
Moltiplichiamo
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto
R
2
(
x
)
{\displaystyle R_{2}(x)}
.
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
+
0
x
3
{\displaystyle +0x^{3}}
−
6
x
2
{\displaystyle -6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
3
x
2
−
x
+
6
{\displaystyle 3x^{2}-x+6}
/
/
{\displaystyle //}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
6
x
2
{\displaystyle +6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
2
x
{\displaystyle +2x}
+
0
{\displaystyle +0}
/
/
{\displaystyle //}
6
x
2
{\displaystyle 6x^{2}}
−
2
x
{\displaystyle -2x}
+
0
{\displaystyle +0}
6
x
2
{\displaystyle 6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
−
12
{\displaystyle -12}
Eseguiamo la sottrazione tra
R
2
(
x
)
{\displaystyle R_{2}(x)}
e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio
R
3
(
x
)
{\displaystyle R_{3}(x)}
.
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
3
x
4
{\displaystyle 3x^{4}}
+
0
x
3
{\displaystyle +0x^{3}}
−
6
x
2
{\displaystyle -6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
3
x
2
−
x
+
6
{\displaystyle 3x^{2}-x+6}
/
/
{\displaystyle //}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
6
x
2
{\displaystyle +6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
+
0
{\displaystyle +0}
−
x
3
{\displaystyle -x^{3}}
+
0
x
2
{\displaystyle +0x^{2}}
+
2
x
{\displaystyle +2x}
+
0
{\displaystyle +0}
/
/
{\displaystyle //}
6
x
2
{\displaystyle 6x^{2}}
−
2
x
{\displaystyle -2x}
+
0
{\displaystyle +0}
6
x
2
{\displaystyle 6x^{2}}
+
0
x
{\displaystyle +0x}
−
12
{\displaystyle -12}
/
/
{\displaystyle //}
−
2
x
{\displaystyle -2x}
+
12
{\displaystyle +12}
Siamo giunti a
R
3
(
x
)
=
−
2
x
+
12
{\displaystyle R_{3}(x)=-2x+12}
, che ha grado strettamente minore di
B
(
x
)
=
x
2
−
2
{\displaystyle B(x)=x^{2}-2}
, dunque il resto è
R
(
x
)
=
R
3
(
x
)
{\displaystyle R(x)=R_{3}(x)}
e il quoziente della nostra divisione è
Q
(
x
)
=
3
x
2
−
x
+
6
{\displaystyle Q(x)=3x^{2}-x+6}
possiamo quindi scrivere
A
(
x
)
=
B
(
x
)
⋅
Q
(
x
)
+
R
(
x
)
⇓
3
x
4
−
x
3
=
(
x
2
−
2
)
⋅
(
3
x
2
−
x
+
6
)
+
(
−
2
x
+
12
)
{\displaystyle {\begin{aligned}A(x)=B(x)&\cdot Q(x)+R(x)\\&\Downarrow \\3x^{4}-x^{3}=(x^{2}-2)&\cdot (3x^{2}-x+6)+(-2x+12)\end{aligned}}}
Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore B è della forma
B
(
x
)
=
x
−
r
{\displaystyle B(x)=x-r}
o
B
(
x
)
=
a
x
−
k
{\displaystyle B(x)=ax-k}
, un binomio di primo grado[ 3] . Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810 .
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.19
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . pp.20-21
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.24
Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 .