L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi[2] :
Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di A ( x ) {\displaystyle A(x)} (ad esempio, x 2 − 1 {\displaystyle x^{2}-1} andrà scritto come x 2 + 0 x − 1 {\displaystyle x^{2}+0x-1} ).
A ( x ) {\displaystyle A(x)}
B ( x ) {\displaystyle B(x)}
Si divide il termine di grado massimo di A ( x ) {\displaystyle A(x)} per il termine di grado massimo di B ( x ) {\displaystyle B(x)} e si scrive il risultato sotto B ( x ) {\displaystyle B(x)} .
a n x n {\displaystyle a_{n}x^{n}}
+ … {\displaystyle +\dots }
+ a 0 {\displaystyle +a_{0}}
b m x m + ⋯ + b 0 {\displaystyle b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}}
a n x n b m x m = q k x k {\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}}
Si moltiplica questo termine q k x k {\displaystyle q_{k}x^{k}} per il polinomio B ( x ) {\displaystyle B(x)} e si scrive il risultato sotto A ( x ) {\displaystyle A(x)} , incolonnando ogni termine sotto il termine di A ( x ) {\displaystyle A(x)} di grado uguale.
a n x n {\displaystyle a_{n}x^{n}}
+ … {\displaystyle +\dots }
+ a 0 {\displaystyle +a_{0}}
b m x m + ⋯ + b 0 {\displaystyle b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}}
b m q k x m + k {\displaystyle b_{m}q_{k}x^{m+k}}
+ … {\displaystyle +\dots }
+ b 0 q k x k {\displaystyle +b_{0}q_{k}x^{k}}
a n x n b m x m = q k x k {\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}}
Si esegue la sottrazione tra A ( x ) {\displaystyle A(x)} e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in x n {\displaystyle x^{n}} si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore (n − 1 {\displaystyle n-1} o anche meno).
a n x n {\displaystyle a_{n}x^{n}}
+ … {\displaystyle +\dots }
+ a 0 {\displaystyle +a_{0}}
b m x m + ⋯ + b 0 {\displaystyle b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}}
b m q k x m + k {\displaystyle b_{m}q_{k}x^{m+k}}
+ … {\displaystyle +\dots }
+ b 0 q k x k {\displaystyle +b_{0}q_{k}x^{k}}
a n x n b m x m = q k x k {\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}}
/ / + r n − 1 x n − 1 {\displaystyle //+r_{n-1}x^{n-1}}
+ … {\displaystyle +\dots }
+ r 0 {\displaystyle +r_{0}}
Se il grado di questo polinomio differenza R 1 ( x ) {\displaystyle R_{1}(x)} è maggiore o uguale a quello di B ( x ) {\displaystyle B(x)} si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso R 1 {\displaystyle R_{1}} come dividendo e aggiungendo il termine
r n − 1 x n − 1 b m x m = q k − 1 x k − 1 {\displaystyle {\frac {r_{n-1}x^{n-1}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k-1}x^{k-1}}
a destra del termine q k x k {\displaystyle q_{k}x^{k}} , come addendo successivo.
Quando si sarà raggiunto un polinomio R i ( x ) {\displaystyle R_{i}(x)} di grado inferiore a B ( x ) {\displaystyle B(x)} , allora tale polinomio R i ( x ) {\displaystyle R_{i}(x)} sarà il resto R ( x ) {\displaystyle R(x)} della divisione; il polinomio
Q ( x ) = q k x k + q k − 1 x k − 1 + . . . + q 0 , {\displaystyle Q(x)=q_{k}x^{k}+q_{k-1}x^{k-1}+...+q_{0},}
formatosi mano a mano sotto B ( x ) {\displaystyle B(x)} , sarà invece il polinomio quoziente.
Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.
Dividiamo il polinomio
A ( x ) = 3 x 4 − x 3 {\displaystyle A(x)=3x^{4}-x^{3}} per il polinomio
B ( x ) = x 2 − 2 {\displaystyle B(x)=x^{2}-2}
Scriviamo i due polinomi A ( x ) {\displaystyle A(x)} e B ( x ) {\displaystyle B(x)} come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2}
Dividiamo il termine di grado massimo di A ( x ) {\displaystyle A(x)} , che risulta essere 3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}} , per il termine di grado massimo di B ( x ) {\displaystyle B(x)} , che è x 2 {\displaystyle x^{2}} e scriviamo il risultato sotto B ( x ) {\displaystyle B(x)} .
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2}
3 x 2 {\displaystyle 3x^{2}}
Ora scriviamo, sotto A ( x ) {\displaystyle A(x)} , il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio B ( x ) {\displaystyle B(x)} . Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2}
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
+ 0 x 3 {\displaystyle +0x^{3}}
− 6 x 2 {\displaystyle -6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
3 x 2 {\displaystyle 3x^{2}}
Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di A ( x ) {\displaystyle A(x)} e del polinomio scritto sotto A ( x ) {\displaystyle A(x)} , sono uguali.
Ora sottraiamo A ( x ) {\displaystyle A(x)} con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio R 1 ( x ) {\displaystyle R_{1}(x)} .
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2}
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
+ 0 x 3 {\displaystyle +0x^{3}}
− 6 x 2 {\displaystyle -6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
3 x 2 {\displaystyle 3x^{2}}
/ / {\displaystyle //}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 6 x 2 {\displaystyle +6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
Il grado di R 1 ( x ) = − x 3 + 6 x 2 {\displaystyle R_{1}(x)=-x^{3}+6x^{2}} è maggiore di quello di B ( x ) {\displaystyle B(x)} , dunque iteriamo il procedimento.
Dividiamo il termine di grado massimo di R 1 {\displaystyle R_{1}} che risulta essere − x 3 {\displaystyle -x^{3}} per il termine di grado massimo di B ( x ) {\displaystyle B(x)} e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2}
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
+ 0 x 3 {\displaystyle +0x^{3}}
− 6 x 2 {\displaystyle -6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
3 x 2 − x {\displaystyle 3x^{2}-x}
/ / {\displaystyle //}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 6 x 2 {\displaystyle +6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere − x {\displaystyle -x} , per il polinomio B ( x ) {\displaystyle B(x)} e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto R 1 ( x ) {\displaystyle R_{1}(x)} .
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2}
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
+ 0 x 3 {\displaystyle +0x^{3}}
− 6 x 2 {\displaystyle -6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
3 x 2 − x {\displaystyle 3x^{2}-x}
/ / {\displaystyle //}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 6 x 2 {\displaystyle +6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 2 x {\displaystyle +2x}
+ 0 {\displaystyle +0}
Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio R 1 ( x ) {\displaystyle R_{1}(x)} e il polinomio scritto sotto per ottenere R 2 ( x ) {\displaystyle R_{2}(x)} .
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2}
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
+ 0 x 3 {\displaystyle +0x^{3}}
− 6 x 2 {\displaystyle -6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
3 x 2 − x {\displaystyle 3x^{2}-x}
/ / {\displaystyle //}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 6 x 2 {\displaystyle +6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 2 x {\displaystyle +2x}
+ 0 {\displaystyle +0}
/ / {\displaystyle //}
6 x 2 {\displaystyle 6x^{2}}
− 2 x {\displaystyle -2x}
+ 0 {\displaystyle +0}
Dato che il grado di R 2 ( x ) {\displaystyle R_{2}(x)} non è inferiore a quello di B ( x ) {\displaystyle B(x)} dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.
Dividiamo il termine di grado superiore di R 2 ( x ) {\displaystyle R_{2}(x)} per il termine di grado superiore di B ( x ) {\displaystyle B(x)} .
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2}
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
+ 0 x 3 {\displaystyle +0x^{3}}
− 6 x 2 {\displaystyle -6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
3 x 2 − x + 6 {\displaystyle 3x^{2}-x+6}
/ / {\displaystyle //}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 6 x 2 {\displaystyle +6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 2 x {\displaystyle +2x}
+ 0 {\displaystyle +0}
/ / {\displaystyle //}
6 x 2 {\displaystyle 6x^{2}}
− 2 x {\displaystyle -2x}
+ 0 {\displaystyle +0}
Moltiplichiamo B ( x ) {\displaystyle B(x)} per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto R 2 ( x ) {\displaystyle R_{2}(x)} .
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2}
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
+ 0 x 3 {\displaystyle +0x^{3}}
− 6 x 2 {\displaystyle -6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
3 x 2 − x + 6 {\displaystyle 3x^{2}-x+6}
/ / {\displaystyle //}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 6 x 2 {\displaystyle +6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 2 x {\displaystyle +2x}
+ 0 {\displaystyle +0}
/ / {\displaystyle //}
6 x 2 {\displaystyle 6x^{2}}
− 2 x {\displaystyle -2x}
+ 0 {\displaystyle +0}
6 x 2 {\displaystyle 6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
− 12 {\displaystyle -12}
Eseguiamo la sottrazione tra R 2 ( x ) {\displaystyle R_{2}(x)} e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio R 3 ( x ) {\displaystyle R_{3}(x)} .
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2}
3 x 4 {\displaystyle 3x^{4}}
+ 0 x 3 {\displaystyle +0x^{3}}
− 6 x 2 {\displaystyle -6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
3 x 2 − x + 6 {\displaystyle 3x^{2}-x+6}
/ / {\displaystyle //}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 6 x 2 {\displaystyle +6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
+ 0 {\displaystyle +0}
− x 3 {\displaystyle -x^{3}}
+ 0 x 2 {\displaystyle +0x^{2}}
+ 2 x {\displaystyle +2x}
+ 0 {\displaystyle +0}
/ / {\displaystyle //}
6 x 2 {\displaystyle 6x^{2}}
− 2 x {\displaystyle -2x}
+ 0 {\displaystyle +0}
6 x 2 {\displaystyle 6x^{2}}
+ 0 x {\displaystyle +0x}
− 12 {\displaystyle -12}
/ / {\displaystyle //}
− 2 x {\displaystyle -2x}
+ 12 {\displaystyle +12}
Siamo giunti a R 3 ( x ) = − 2 x + 12 {\displaystyle R_{3}(x)=-2x+12} , che ha grado strettamente minore di B ( x ) = x 2 − 2 {\displaystyle B(x)=x^{2}-2} , dunque il resto è
R ( x ) = R 3 ( x ) {\displaystyle R(x)=R_{3}(x)} e il quoziente della nostra divisione è
Q ( x ) = 3 x 2 − x + 6 {\displaystyle Q(x)=3x^{2}-x+6} possiamo quindi scrivere
A ( x ) = B ( x ) ⋅ Q ( x ) + R ( x ) ⇓ 3 x 4 − x 3 = ( x 2 − 2 ) ⋅ ( 3 x 2 − x + 6 ) + ( − 2 x + 12 ) {\displaystyle {\begin{aligned}A(x)=B(x)&\cdot Q(x)+R(x)\\&\Downarrow \\3x^{4}-x^{3}=(x^{2}-2)&\cdot (3x^{2}-x+6)+(-2x+12)\end{aligned}}} Regola di Ruffini
modifica
Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore B è della forma B ( x ) = x − r {\displaystyle B(x)=x-r} o B ( x ) = a x − k {\displaystyle B(x)=ax-k} , un binomio di primo grado[3] . Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810 .
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.19
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . pp.20-21
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.24
Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 .