Ellissoide

tipo di quadrica che costituisce l'analogo tridimensionale della ellisse
Rappresentazione di un ellissoide

In geometria, per ellissoide si intende il tipo di quadrica che costituisce l'analogo tridimensionale della ellisse nelle due dimensioni.

Indice

DefinizioneModifica

 
Ellissoide

L'equazione dell'ellissoide standard in un sistema di coordinate cartesiane Oxyz è

 ,

dove a, b e c sono numeri reali positivi fissati che determinano la forma dell'ellissoide (semiassi). Se due di questi numeri sono uguali, l'ellissoide si dice sferoide o ellissoide di rotazione; se tutti e tre sono uguali, abbiamo una sfera.

Se ci limitiamo a considerare le possibilità consentite da  , abbiamo la seguente casistica:

  •  , si ha un ellissoide scaleno;
  •  , si ha uno sferoide prolato (a forma di pallone da rugby);
  •  , si ha uno sferoide oblato (a forma di lenticchia);
  •  , si ha una sfera, come già segnalato.

Si definiscono assi centrali di inerzia gli assi di simmetria dell'ellissoide che formano un sistema di riferimento centrato nel baricentro dell'ellissoide.

ParametrizzazioneModifica

Utilizzando le coordinate comuni, dove   è un punto di latitudine riduzione, o parametrico, e   è la sua longitudine planetografica, un ellissoide può essere parametrizzato nel seguente modo:

 
 
(Si noti che questa non è parametrizzazione 1-1 ai poli, dove  )

Oppure, utilizzando il sistema di coordinate sferiche, dove   è la colatitudine, detta anche zenit, e   è la longitudine di 360°, detta anche azimuth:

 
 

VolumeModifica

Il volume di un ellissoide si ottiene semplicemente da quello di una sfera e dall'effetto delle omotetie:  

Area superficialeModifica

L'area superficiale, invece, è fornita da espressioni molto più elaborate. Una espressione esatta è:

 

dove:

 
 

mentre  ,   denotano gli integrali ellittici incompleti di primo e secondo genere rispettivamente.

Sono disponibili anche espressioni approssimate:

  • ellissoide piatto:  
  • sferoide prolato:  
  • sferoide oblato:  
  • ellissoide scaleno:  

Se si utilizza p = 1,6075 si ha un errore relativo al più dell'1,061% (formula di Knud Thomsen); un valore p = 8/5 = 1,6 è ottimale per gli ellissoidi quasi sferici e presenta un errore relativo inferiore all'1,178% (formula di David W. Cantrell).

Manipolazioni lineariModifica

Se si applica una trasformazione lineare invertibile ad una sfera, si ottiene un ellissoide; in conseguenza del teorema spettrale questo ellissoide si può ricondurre alla forma standard.

L'intersezione di un ellissoide con un piano può essere o l'insieme vuoto, o un insieme contenente un singolo punto, o una ellisse.

Dimensioni superioriModifica

Si può anche definire un ellissoide in più di 3 dimensioni, come immagine di un'ipersfera sottoposta ad una trasformazione lineare invertibile. Il teorema spettrale garantisce ancora la possibilità di ottenere una equazione standard della forma

 .

Voci correlateModifica

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