Endomorfismo di Frobenius

In algebra astratta, l'endomorfismo di Frobenius è uno speciale omomorfismo di anelli, definito solo per anelli con caratteristica positiva. Prende il nome da Ferdinand Georg Frobenius. La sua definizione si basa su un teorema che afferma che:

Se è un anello commutativo con caratteristica , con numero primo, allora , per ogni e appartenenti ad .

cioè che l'applicazione

preserva l'operazione di somma. Dopotutto, essa soddisfa anche le proprietà e , dunque si caratterizza come un endomorfismo di in sé ed è pertanto detta endomorfismo di Frobenius.

Dimostrazione del teoremaModifica

Per il teorema binomiale vale che

 

Ma se  , il coefficiente   contiene il fattore   e dunque in caratteristica   è uguale a 0. Pertanto rimangono solo i termini finali dell'espansione, cioè   e  .

EsempiModifica

  1. Sia   un anello con caratteristica 2:
      e  
    Essendo un anello con caratteristica 2, per le proprietà dell'aritmetica modulare si ha:
     
  2. Sia   un anello con caratteristica 3:
      e  
    Essendo un anello con caratteristica 3, per le proprietà dell'aritmetica modulare si ha:
     
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